洛谷P4145 上帝造題的七分鐘2/花神遊歷各國 [樹狀數組,並查集]
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題目背景
XLk覺得《上帝造題的七分鐘》不太過癮,於是有了第二部。
題目描述
"第一分鐘,X說,要有數列,於是便給定了一個正整數數列。
第二分鐘,L說,要能修改,於是便有了對一段數中每個數都開平方(下取整)的操作。
第三分鐘,k說,要能查詢,於是便有了求一段數的和的操作。
第四分鐘,彩虹喵說,要是noip難度,於是便有了數據範圍。
第五分鐘,詩人說,要有韻律,於是便有了時間限制和內存限制。
第六分鐘,和雪說,要省點事,於是便有了保證運算過程中及最終結果均不超過64位有符號整數類型的表示範圍的限制。
第七分鐘,這道題終於造完了,然而,造題的神牛們再也不想寫這道題的程序了。"
——《上帝造題的七分鐘·第二部》
所以這個神聖的任務就交給你了。
輸入輸出格式
輸入格式:
第一行一個整數 nn ,代表數列中數的個數。
第二行 nn 個正整數,表示初始狀態下數列中的數。
第三行一個整數 mm ,表示有 mm 次操作。
接下來 mm 行每行三個整數k,l,r
,
k=0
表示給 [l,r][l,r] 中的每個數開平方(下取整)k=1
表示詢問 [l,r][l,r] 中各個數的和。
數據中有可能 l>rl>r ,所以遇到這種情況請交換l和r。
輸出格式:
對於詢問操作,每行輸出一個回答。
輸入輸出樣例
輸入樣例#1: 復制10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5
0 1 10
1 1 10
1 1 5
0 5 8
1 4 8
輸出樣例#1: 復制
19
7
6
說明
對於30%的數據, 1\le n,m\le 10001≤n,m≤1000 ,數列中的數不超過 3276732767 。
對於100%的數據, 1 \le n,m \le 1000001≤n,m≤100000 , 1 \le l,r \le n1≤l,r≤n ,數列中的數大於 00 ,且不超過 10^{12}1012 。
註意l有可能大於r,遇到這種情況請交換l,r。
分析:首先,要求進行區間修改和區間查詢,很明顯的線段樹啊。這題用線段樹確實也可以做,但是開方是不支持區間操作的,所以只能單點修改,但是會發現單點修改最多只能進行6次,因為log(log(1e12))約為6,向下取整就得到,每一個數只能操作六次,那麽就打標記,直接暴力單點修改就可以A了。
但是這題還可以用樹狀數組套並查集做,而且更優。因為樹狀數組是用於保存前綴和的,那麽每一次修改只要修改前綴和即可,每次的操作復雜度為O(logn),查詢也一樣。那麽修改操作和線段樹也差不多。每次單點修改,最多只有6次,但是這樣復雜度還是O(n^2),那麽並查集的作用就顯現出來了。每次修改過以後,如果該點的值已經<=1了,那麽就將該點的fa[i]修改為i+1,修改的for循環就可以這樣寫:
for(int i=find(l);i<=r;i=find(i+1))
就可以直接跳過不需要修改的點,優化復雜度了,平攤下來復雜度大約也就是樹狀數組的復雜度O(nlogn)。
Code:
1 #include<bits/stdc++.h> 2 #define Fi(i,a,b) for(int (i)=(a);(i)<=(b);(i)++) 3 using namespace std; 4 typedef long long ll; 5 const int N=1e5+7; 6 ll a[N],c[N];int n,m,fa[N]; 7 inline ll read() 8 { 9 char ch=getchar();ll num=0;bool flag=false; 10 while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)flag=true;ch=getchar();} 11 while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘){num=num*10+ch-‘0‘;ch=getchar();} 12 return flag?-num:num; 13 } 14 inline int find(int x){return (fa[x]==x||!fa[x])?fa[x]=x:fa[x]=find(fa[x]);} 15 inline void update(int x,ll y){for(;x<=n;x+=x&-x)c[x]+=y;} 16 inline ll get(int x){ll ret=0;for(;x;x-=x&-x)ret+=c[x];return ret;} 17 inline void change(int l,int r) 18 { 19 for(int i=find(l);i<=r;i=find(i+1)){ 20 ll temp=(ll)sqrt(a[i]);update(i,temp-a[i]); 21 a[i]=temp;if(a[i]<=1)fa[i]=find(i+1);} 22 } 23 int main() 24 { 25 n=read();Fi(i,1,n){a[i]=read();update(i,a[i]);fa[i]=i;if(a[i]<=1)fa[i]=i+1;} 26 m=read();ll x,y,z;Fi(i,1,m){x=read();y=read();z=read();if(y>z)swap(y,z); 27 if(x==0)change(y,z);else printf("%lld\n",get(z)-get(y-1));}return 0; 28 }
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