假設我們要判斷的數為n，則有以下討論：

素數只能被1和本身整除，那麽試除\(O(n)\)

n非素數，其約數必成對出現，如3和12/3=4都是12的約數，3和9/3=3都是9的約數（這裏的成對可以相同），那麽我們只需考慮\(\le \sqrt n\)的數，得\(O(\sqrt n)\)

素數可以被分為兩類，偶素數和奇素數。偶素數只有2，所以我們在遍歷之前單獨判斷n是否被2整除，並將循環步長增置2，得\(O(\frac{\sqrt n}{2})\)。

bool isprime(int n)
{
    if(n < 2) return 0;
    if(n == 2) return 1;
    if
 
(n % 2 == 0) return 0;

    int lim = sqrt(n);
    for(int i = 3; i <= lim; i += 2)
        if(n % i == 0) return 0;
    return 1;
}

奇素數可以通過產生所有奇數的表達式產生，比如：\(4k+1\)和\(4k+3\)能生成所有的奇數，所以這裏的步長可為4，得\(O(\frac{\sqrt n}{4})\)

bool isprime(int n)
{
    if(n < 2) return 0;
    if(n == 2) return 1;
    if(n % 2
 
 == 0) return 0;

    int lim = sqrt(n);
    for(int i = 3; i <= lim; i += 4)
        if(n % i == 0) return 0;
    return 1;
}

提前先判斷一部分奇數，減少後序循環中所需工作。比如\(6k+1\)、\(6k+3\)、\(6k+5\)
可生成所有奇數，提前判斷3，則可令步長為6，得\(O(\frac{\sqrt n}{6})\)

bool isprime(int n)
{
    if(n < 2) return 0;
    if(n < 4) return 1;
    if
 
(n % 2 == 0 || n % 3 == 0) return 0;
    if(n < 9) return 1;

    int lim = sqrt(n);
    // i+2是因為6k+5與6k-1同余，而6k-1與6k+1差2，所以+2
    for(int i = 5; i <= lim; i += 6)
        if(n % i == 0 || n % (i+2) == 0) return 0;
    return 1;
}

n若為合數，必能通過唯一形式的素數連乘形式表示（算術基本定理）
所以在上述方法中，不需考慮所以\(\le \sqrt n\)的數，僅考慮\(\le \sqrt n\)的素數即可，這裏的時間復雜度可達\(O(\lg \sqrt n)\)。

但是，如何生成素數呢？

數論1：簡單素數判斷