關於遞歸算法學習的點滴感悟
本人的第一篇博客，純原創，部分內容參考下面兩位博主的文章，鳴謝！
https://www.cnblogs.com/GODYCA/archive/2013/01/15/2861545.html
https://www.cnblogs.com/LiCheng-/p/8206444.html （這篇文章寫的不是很好，因為博文提到“每次問題規模縮小程度必須為1”，而事實上我在查閱資料時，這是需要根據實際情況確定的，比如”二分查找法”就是最好的例子，每次問題規模縮小程度就是一半）
關於遞歸，今天逛園子的時候偶然發現的，一篇關於利用數學歸納法指導編寫遞歸程序的博文，啟發了我。但博主的文章寫的不是那麽好理解，於是我又琢磨了一下午，參考了別的資料，寫了三個例子幫助自己理解。
關於數學歸納法，先看看是怎麽回事：
一般地，證明一個與自然數n有關的命題P(n），有如下步驟：
（1）證明當n取第一個值n0時命題成立。n0對於一般數列取值為0或1，但也有特殊情況；
（2）假設當n=k（k≥n0，k為自然數）時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立。
綜合（1）（2），對一切自然數n（≥n0），命題P(n）都成立。
舉個例子：
已知N!=N*(N-1)*(N-2)*(N-3)*…*2*1，求證R(N)與R(N-1)之間的關系！
第一步當N=1時可知 N!=1
第二步設當R(N)=N!，R(N-1)=(N-1)!
第三步，求R(N)與R(N-1)之間的關系：
因為R(N-1)=(N-1)!= (N-1)*…*2*1=> R(N)=N*R(N-1)
即：R(N)=N*R(N-1)
寫成一個函數求N!的值：
factorial (int N)
{
if(N==1) return 1; /* 特殊部分 */
return N * factorial (N - 1) /* 遞歸部分 */
}
上面這個例子，利用數學歸納法得到R(N)=N*R(N-1) 的關系式，恰好是遞歸寫法的核心（通用）部分，而遞歸返回（特殊）部分為 if(N==1) return 1 語句。
那麽編寫遞歸程序就有指導思想：首先分析得到問題解決的通用處理步驟（規律），再處理遞歸返回（特殊）部分
下面看看三個例子幫助消化：
第一個例子（自己碰到的面試題，當時寫不好，現在一下子就寫出了）：
現有如下關系：1、1、2、3、5、8、13…請用遞歸求出第150位數字的值？
分析：對於8=5+3，對於5=3+2，對於2=1+1，即第n位=第n-1位+第n-2位,其中n>2
而對於第1位、第2位時，他們的值都是一樣，即為1.
那我們可以很容易就可以寫出來：
int IndexNum (int n)
{
if(n==1||n==2)
{
return 1;
}
return IndexNum(n - 1) + IndexNum(n - 2);
}
第二個例子，漢諾塔的實現，這個也很有意思（雖然書上很多）：
漢諾塔：三個立柱（命名為from、temp、to，from為圓盤初始所在立柱、to是目標立柱），N個直徑不相等的圓盤，將圓盤從from上一個一個移動在to上，要求，每次只能移動一個圓盤，而且只能在三個立柱之間移動。目標柱to不能出現大盤壓小盤的情況。
首先用數學歸納法分析：
當只有一個圓盤的時候，我們可以確定：
直接將圓盤從from移動到to上： move (n, from, to);
現在假設有N個圓盤在from上，則需要進行如下操作：
首先需要將from上N-1個盤移動到temp上： Hanoi (n-1, from, temp);
然後將from上的第N個盤移到to： move (n, from, to);
最後再將temp上N-1個盤移到to上： Hanoi (n-1, temp, to);
設Hanoi (int n, int from, int temp, int to)函數就是我們要求的漢諾塔實現函數，意義是將按直徑遞增摞在一起的n個圓盤從from按要求移動到to上，temp為輔助柱。
寫出代碼即：
void Hanoi (int n, int from, int temp, int to)
{
if (n == 1)
{
move (n, from, to);
}
else
{
Hanoi (n-1, from, to, temp);
move (n, from, to);
Hanoi (n-1, temp, from, to);
}
}
上面的代碼，也同樣包含通用規律，特殊部分即是遞歸的返回部分。
再看第三個例子，關於建立單向鏈表關系：
假設有節點，定義如下：
class node
{
public int Num { get; set; } //序號
public node next { get; set; } //指向的下一個節點
public node(int num)
{
Num = num;
}
}
現在有數組nodes如下：
node[] nodes = new node[5];
nodes[0] = new node(2);
nodes[1] = new node(4);
nodes[2] = new node(1);
nodes[3] = new node(3);
nodes[4] = new node(9);
需將他們建立單向鏈關系：
首先分析：對於數組第n個節點，有nodes[n].next = nodes[n+1]的通用關系；
對於最後一個節點，有nodes[4].next = null
那我們可以這麽寫：
void CreatLink(node[]data, int n)
{
if (n >= data.Length-1)
{
data[n] = null;
return;
}else
{
data[n].next = data[n + 1];
CreatLink(data, n + 1);
}
}
初步總結：對於編寫遞歸程序，首先是得到其通用的處理步驟（規律），然後再分析其特殊部分，而特殊部分往往是遞歸函數返回（閉環）的關鍵。
關於遞歸算法學習的點滴感悟