終於開始接觸網絡流了;

網絡流到底是個蝦米東東，用比較學術的話說，就是

一個有向圖 G=(V，E)；

有兩個特別的點：源點s、匯點t；

圖中每條邊(u,v)∈E，有一個非負值的容量C(u,v)

記為 G=(V，E，C)

網絡三要素：點、邊、容量

用我的其中，最不好理解的就是容量和流量，對於初學者，應該這樣理解，每條邊有c表示最多能運送多少貨物，而流量f表示最多當前運送的貨物多少。

這樣要好點嘿嘿。

解決了網絡流之後，我們就要想，最大流。

what is最大流

在我們擁有網絡流的概念後，我們想啊，最大流，就是起點到終點的最大流量。

其中，在最大流的問題中，我們要滿足三個條件，1：容量限制：f（u，v）<c（u，v）；

2：斜對稱性：（f（u，v）=-f（v,u））在後面的運用中，我們叫做一旦有物品從u運到v，那麽則肯定有一個可退流從v運到u

3：流量平衡：簡單來說就是除了源點和匯點，沒有其他點可以保存貨物。顯然f（s，u）==f（v，t）；

既然這樣，我們的目的就是使f（s，u）和f（v，t）最大

怎麽使目標最大化呢，現在，就要介紹增廣路算法，這非常重要：可以說怎個網絡流都必須有增廣路算法的影子。

好，我們先想，如果一個網絡流還有一條增廣路，按照我們的理解，那麽這條路上所有的弧都可以讓x個貨物通過，那麽一定不是最大流

比如現在；

還存在S--A---C---T的可增廣路，那麽就一定不是最大流

但是反過來，如果一個網絡沒有增廣路，那麽他一定是最大流嗎，有的人說是的，當然啦。但是請看

這也是一個沒有增廣路的網絡，但是，他是最大流嗎。

我們發現，還可以這樣。orz

所以，剛才那個最多算一個極大流，而不是最大流（什麽蝦米東東）

也就是說從B出發，本來有兩條路可以走的，但是B卻走了錯誤的路，所以它成功地把C---T給堵住了。

我們又稱之為“阻塞流”。也就是說一個錯誤的路讓其他可行流被阻塞了。

怎麽改進呢，反正B出發只有兩條路，都要試一試對吧，既然上面那條是阻塞流。

那下面這條呢，試一試不就知道了，那我們就把B--c壓回去，走另外一條路。

現在。就是這樣

但是，這腫麽實現呢，如果模擬將流壓回去，忒難了點吧。

所以，我們引入了反向弧，借助他來推流。

增廣路徑(可改進路徑)的定義

若P是網絡中連結源點s和匯點t的一條路，我們定義路的方向是從s到t，則路上的弧有兩種：

l 前向弧---弧的方向與路的方向一致。前向弧的全體記為P+；

l 後向弧---弧的方向與路的方向相反。後向弧的全體記為P-；

設F是一個可行流，P 是從s到t的一條路，若P滿足下列條件：

在P+的所有前向弧(u,v)上，0≦f(u,v) < C(u,v);

在P-的所有後向弧(u,v)上，0<f(u,v) ≦C(u,v);

則稱P是關於可行流F的一條可增廣路徑。

有點難理解對吧。

但是我們成功了。

現在，網絡變成了這個樣子。

其實，為什麽反向弧退流就對了呢，我認為是這樣的，對於一條已經有了可退流的弧，一旦退流，其退流一定可以將退流退完,所以，滿足三要素。就一定是對的。

所以，增廣路定理就是：當一個殘量網路上沒有增廣路了，那麽他一定是最大流。

基於這個定理，我們可以設計出算法。

在一個殘量網絡上找增廣路增廣，然後，一旦沒有增廣路，就一定是最大流。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 10000+10
#define M 10000+10
#define inf 1e9;
using namespace std; 
int head[N],arnum=1,used[N],ans,way[M];
struct ss{int next,to,cap;}a[M];
void add(int from,int to,int cap){a[++arnum]=(ss){head[from],to,cap};head[from]=arnum;}
void insert(int u,int v,int cap){add(u,v,cap),add(v,u,0);}
int n,m,S,T;
void work(int step)
{
    int minn=inf;
    for(int i=1;i<=step;i++)
        minn=min(minn,a[way[i]].cap);
    ans+=minn;
    for(int i=1;i<=step;i++)
    {
        a[way[i]].cap-=minn;
        a[way[i]^1].cap+=minn;
    }
}
int dfs(int u,int step)
{
    for(int i=head[u];i;i=a[i].next)
    {
        int v=a[i].to;
        int cap=a[i].cap;
        if(not used[v] and cap>0)
        {
            way[step]=i;
            used[v]=1;
            if(v==T){work(step);return 1;}
            else if(dfs(v,step+1))return 1;
        }
        return 0;
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&S,&T);
    int u,v,c;
    for(int i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d%d",&u,&v,&c);insert(u,v,c);}
    for(;;)
    {
        memset(used,0,sizeof(used));
        used[S]=1;
        if(not dfs(S,1))break;
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

這就是最低級的算法吧O(∩_∩)O哈哈~。

附上代碼

網絡流初步：<最大流>——核心（增廣路算法）