最小生成樹-Prim算法和Kruskal算法
Prim算法
1.概覽
普裏姆算法 (Prim 算法),圖論中的一種算法,可在加權連通圖裏搜索最小生成樹。意即由此算法搜索到的邊子集所構成的樹中,不但包括了連通圖裏的所有頂點
2.算法簡單描述
1).輸入:一個加權連通圖,其中頂點集合為V,邊集合為E;
2).初始化:Vnew = {x},其中x為集合V中的任一節點(起始點),Enew = {},為空;
3).重復下列操作,直到Vnew = V:
a.在集合E中選取權值最小的邊<u, v>,其中u為集合Vnew 中的元素,而v不在Vnew 集合當中,並且v∈V(如果存在有多條滿足前述條件即具有相同權值的邊,則可任意選取其中之一);
b.將v加入集合Vnew 中,將<u, v>邊加入集合Enew 中;
4).輸出:使用集合Vnew 和Enew 來描述所得到的最小生成樹。
下面對算法的圖例描述
圖例 | 說明 | 不可選 | 可選 | 已選(Vnew ) |
---|---|---|---|---|
此為原始的加權連通圖。每條邊一側的數字代表其權值。 | - | - | - | |
頂點D 被任意選為起始點。頂點A 、B 、E 和F 通過單條邊與D 相連。A 是距離D 最近的頂點,因此將A 及對應邊AD 以高亮表示。 | C, G | A, B, E, F | D | |
下一個頂點為距離D 或A 最近的頂點。B 距D 為9,距A 為7,E 為15,F 為6。因此,F 距D 或A 最近,因此將頂點F 與相應邊DF 以高亮表示。 | C, G | B, E, F | A, D | |
算法繼續重復上面的步驟。距離A 為7的頂點B 被高亮表示。 | C | B, E, G | A, D, F | |
在當前情況下,可以在C 、E 與G 間進行選擇。C 距B 為8,E 距B 為7,G 距F 為11。E 最近,因此將頂點E 與相應邊BE 高亮表示。 | 無 | C, E, G | A, D, F, B | |
這裏,可供選擇的頂點只有C 和G 。C 距E 為5,G 距E 為9,故選取C ,並與邊EC 一同高亮表示。 | 無 | C, G | A, D, F, B, E | |
頂點G 是唯一剩下的頂點,它距F 為11,距E 為9,E 最近,故高亮表示G 及相應邊EG 。 | 無 | G | A, D, F, B, E, C | |
現在,所有頂點均已被選取,圖中綠色部分即為連通圖的最小生成樹。在此例中,最小生成樹的權值之和為39。 | 無 | 無 | A, D, F, B, E, C, G |
3.簡單證明prim算法
反證法:假設prim生成的不是最小生成樹
1).設prim生成的樹為G0
2).假設存在Gmin 使得cost(Gmin )<cost(G0 ) 則在Gmin 中存在<u,v>不屬於G0
3).將<u,v>加入G0 中可得一個環,且<u,v>不是該環的最長邊(這是因為<u,v>∈Gmin )
4).這與prim每次生成最短邊矛盾
5).故假設不成立,命題得證.
5.時間復雜度
這裏記頂點數v,邊數e
鄰接矩陣:O(v2 ) 鄰接表:O(elog2 v)
Kruskal算法
1.概覽
Kruskal算法 是一種用來尋找最小生成樹的算法,由Joseph Kruskal在1956年發表。用來解決同樣問題的還有Prim算法和Boruvka算法等。三種算法都是貪婪算法的應用。和Boruvka算法不同的地方是,Kruskal算法在圖中存在相同權值的邊時也有效。
2.算法簡單描述
1).記Graph中有v個頂點,e個邊
2).新建圖Graphnew ,Graphnew 中擁有原圖中相同的e個頂點,但沒有邊
3).將原圖Graph中所有e個邊按權值從小到大排序
4).循環:從權值最小的邊開始遍歷每條邊 直至圖Graph中所有的節點都在同一個連通分量中
if 這條邊連接的兩個節點於圖Graphnew 中不在同一個連通分量中
添加這條邊到圖Graphnew 中
圖例描述:
首先第一步,我們有一張圖Graph,有若幹點和邊
將所有的邊的長度排序,用排序的結果作為我們選擇邊的依據。這裏再次體現了貪心算法的思想。資源排序,對局部最優的資源進行選擇,排序完成後,我們率先選擇了邊AD。這樣我們的圖就變成了右圖
在剩下的變中尋找。我們找到了CE。這裏邊的權重也是5
依次類推我們找到了6,7,7,即DF,AB,BE。
下面繼續選擇, BC或者EF盡管現在長度為8的邊是最小的未選擇的邊。但是現在他們已經連通了(對於BC可以通過CE,EB來連接,類似的EF可以通過EB,BA,AD,DF來接連)。所以不需要選擇他們。類似的BD也已經連通了(這裏上圖的連通線用紅色表示了)。
最後就剩下EG和FG了。當然我們選擇了EG。最後成功的圖就是右:
3.簡單證明Kruskal算法
對圖的頂點數n做歸納,證明Kruskal算法對任意n階圖適用。
歸納基礎:
n=1,顯然能夠找到最小生成樹。
歸納過程:
假設Kruskal算法對n≤k階圖適用,那麽,在k+1階圖G中,我們把最短邊的兩個端點a和b做一個合並操作,即把u與v合為一個點v‘,把原來接在u和v的邊都接到v‘上去,這樣就能夠得到一個k階圖G‘(u,v的合並是k+1少一條邊),G‘最小生成樹T‘可以用Kruskal算法得到。
我們證明T‘+{<u,v>}是G的最小生成樹。
用反證法,如果T‘+{<u,v>}不是最小生成樹,最小生成樹是T,即W(T)<W(T‘+{<u,v>}) 。顯然T應該包含<u,v>,否則,可以用<u,v>加入到T中,形成一個環,刪除環上原有的任意一條邊,形成一棵更小權值的生成樹。而T-{<u,v>},是G‘的生成樹。所以W(T-{<u,v>})<=W(T‘) ,也就是W(T)<=W(T‘)+W(<u,v>)=W(T‘+{<u,v>}), 產生了矛盾。於是假設不成立,T‘+{<u,v>}是G的最小生成樹,Kruskal算法對k+1階圖也適用。
由數學歸納法,Kruskal算法得證。
時間復雜度:elog2 e e為圖中的邊數。
最小生成樹-Prim算法和Kruskal算法