算法導論 Exercises 22.5（轉載）
阿新 • • 發佈：2017-08-23
each ecif 內部 森林 ber lan 情況 incr cif
如有不足或疑問, 歡迎指正. 
設想對上圖應用指定的升序式算法, 圖中有A, B, C 三個頂點, A->B, B->A, B->C 三條邊.
如果首次 DFS 從 B 開始, 先向 A 遍歷, 則訪問頂點順序為 (B (A, A) (C, C) B)
升序排列 finishing time 是 A, C, B. 這樣第二次進行 DFS 則應從 A 開始, 該算法
結果顯示 A, B, C 是一個強連通組件, 而實際情況不是如此.
該算法不能保證通用性, 只有在選擇特殊頂點作為起始點, 以及規定鄰接表順序的情況下,
結果才有可能是正確的.
Exercises 22.5-4
Prove that for any directed graph G, we have (( GT)SCC)T = (G)SCC. That is, the
transpose of the component graph of GT is the same as the component graph of G.
在圖 G 中, 同一組件中的頂點可以互相連通. 而圖 GT 中, 組件中的邊雖然反轉,
但其頂點仍可以互相連通, 這方面是不受影響的, 組件之間的邊全部反轉, 同樣不會形成
新的組件. 所以 ((GT)SCC)T = (G)SCC, 即 GT 和 G 的強連通組件相同.
Exercises 22.5-5
Give an O (V + E)-time algorithm to compute the component graph of a directed
graph G = (V, E). Make sure that there is at most one edge between two vertices
in the component graph your algorithm produces.
(1) first DFS (G)
if v finish
orderList.push_front(v) // orderList 是 finishing time 降序隊列
時間 O(V + E)
(2) for each v in V
for each x in v.adj
x.adj.push_back(v)
即求 GT 時間 O(V + E)
(3) second DFS (GT)
for v in order of orderList
map v to scc // scc 是強連通組件
for each x in v.adj
if x.color = COLOR_BLACK // 代表這條邊(v, x)是強連通組件間的邊
if x non-exist in scc.adj // 在DFS(GT)期間總搜索時間 O(E)
scc.adj.push_back(x)
即求 scc 和 scc.adj 時間 O(V + E), 所以算法時間復雜度 O(V + E).
Exercises 22.5-6
Given a directed graph G = (V, E), explain how to create another graph G‘ = (V, E‘)
such that (a) G‘ has the same strongly connected components as G, (b) G‘
has the same component graph as G, and (c) E‘ is as small as possible. Describe a
fast algorithm to compute G‘
(1) 確定每個SCC頂點集合, 以及SCC間所有邊集合 Es(不包含SCC內的邊), 時間 O (V + E)
(2) 每個SCC內假設有點 v1, v2, ..., vn, 使其形成環 v1-> v2, v2->v3, ..., vn->v1, 時間 O (V)
(3) 這裏假設 SCC 數量是 N, 生成 N * N 矩陣. 對 Es 中邊 (vi , vj), 假設 vi 屬於 SCCi , vj 屬於 SCCj.
如果 N[SCCi][SCCj] == 0, 則將 (vi, vj) 保存到 E‘ 中, 如果 N[SCCi][SCCj] == 1, 則跳過該邊.
依次計算 Es 中所有邊, 此處時間 O(E‘), 而 O(E‘) < O(E), 所以算法時間復雜度 O(V + E)
Exercises 22.5-7
A directed graph G = (V, E) is semiconnected if, for all pairs of vertices u, v ∈ V,
we have u ~> v or v ~> u. Give an efficient algorithm to determine whether
or not G is semiconnected. Prove that your algorithm is correct, and analyze its
running time.
強連通組件算法, 按第 2 次 DFS(GT) 強連通組件生成順序編號, 假設是 SCC1, SCC2, ..., SCCn
如果存在邊 (SCC1, SCC2), (SCC2, SCC3), ..., (SCCn-1, SCCn) , 即組件間邊形成線性的鏈,
則圖 G 是 semiconnected. 稍後詳細解釋.
(1) 強連通組件圖算法, 時間 O(V+E)
(2) 按強連通組件 SCC 順序編號, 假設是SCC1, SCC2, ..., SCCn, 並求出組件 SCC 的鄰接表,
這步驟可以在 (1) 中完成, 所以時間 O(V+E)
(3) 遍歷 SCC 鄰接表, 如果對於範圍 i = 1, 2, ..., n-1, 強連通組件SCCi.adj 中存在 SCCi+1 ,
既含有邊 (SCCi, SCCi+1), 強連通組件圖是線性鏈, 則 G = (V, E) 是 semiconnected, 時間 O(V+E).
詳細解釋, 按算法理論的支持, SCCi+1 不存在到SCCi 的邊, 如果沒有 (SCCi, SCCi+1),
則兩者均無法到達對方, 即不符合 G 是 semiconnected 的概念. 算法時間復雜度 O(V+E)
Exercises 22.5 - 算法導論.英文第3版
最近看書的同時, 感覺一些練習缺少參考, 所以按部分總結了自己的解答, 也能夠強化學習過程.如有不足或疑問, 歡迎指正.
Exercises 22.5-1 How can the number of strongly connected components of a graph change if a new edge is added? 可以將每個強連通組件當作一個頂點, 組成強連通圖, 圖內頂點數量即強連通組件數量. 如果新增加的邊在頂點內部(即指向自己), 或者重復已有頂點間的邊, 則數量沒變化. 如果新增加的邊使圖形成環, 這樣環內頂點組成一個新的強連通組件, 所以數量減少N, N = (環內頂點數量 - 1).
ANSWER：DFS（G）森林：（其中紅色為樹邊）
強連通分量結果：
Exercises 22.5-3 Professor Bacon claims that the algorithm for strongly connected components would be simpler if it used the original (instead of the transpose) graph in the second depth-first search and scanned the vertices in order of increasing finishing times. Does this simpler algorithm always produce correct results?
設想對上圖應用指定的升序式算法, 圖中有A, B, C 三個頂點, A->B, B->A, B->C 三條邊.
如果首次 DFS 從 B 開始, 先向 A 遍歷, 則訪問頂點順序為 (B (A, A) (C, C) B)
升序排列 finishing time 是 A, C, B. 這樣第二次進行 DFS 則應從 A 開始, 該算法
結果顯示 A, B, C 是一個強連通組件, 而實際情況不是如此.
該算法不能保證通用性, 只有在選擇特殊頂點作為起始點, 以及規定鄰接表順序的情況下,
結果才有可能是正確的.
Exercises 22.5-4
Prove that for any directed graph G, we have (( GT)SCC)T = (G)SCC. That is, the
transpose of the component graph of GT is the same as the component graph of G.
在圖 G 中, 同一組件中的頂點可以互相連通. 而圖 GT 中, 組件中的邊雖然反轉,
但其頂點仍可以互相連通, 這方面是不受影響的, 組件之間的邊全部反轉, 同樣不會形成
新的組件. 所以 ((GT)SCC)T = (G)SCC, 即 GT 和 G 的強連通組件相同.
Exercises 22.5-5
Give an O (V + E)-time algorithm to compute the component graph of a directed
graph G = (V, E). Make sure that there is at most one edge between two vertices
in the component graph your algorithm produces.
(1) first DFS (G)
if v finish
orderList.push_front(v) // orderList 是 finishing time 降序隊列
時間 O(V + E)
(2) for each v in V
for each x in v.adj
x.adj.push_back(v)
即求 GT 時間 O(V + E)
(3) second DFS (GT)
for v in order of orderList
map v to scc // scc 是強連通組件
for each x in v.adj
if x.color = COLOR_BLACK // 代表這條邊(v, x)是強連通組件間的邊
if x non-exist in scc.adj // 在DFS(GT)期間總搜索時間 O(E)
scc.adj.push_back(x)
即求 scc 和 scc.adj 時間 O(V + E), 所以算法時間復雜度 O(V + E).
Exercises 22.5-6
Given a directed graph G = (V, E), explain how to create another graph G‘ = (V, E‘)
such that (a) G‘ has the same strongly connected components as G, (b) G‘
has the same component graph as G, and (c) E‘ is as small as possible. Describe a
fast algorithm to compute G‘
(1) 確定每個SCC頂點集合, 以及SCC間所有邊集合 Es(不包含SCC內的邊), 時間 O (V + E)
(2) 每個SCC內假設有點 v1, v2, ..., vn, 使其形成環 v1-> v2, v2->v3, ..., vn->v1, 時間 O (V)
(3) 這裏假設 SCC 數量是 N, 生成 N * N 矩陣. 對 Es 中邊 (vi , vj), 假設 vi 屬於 SCCi , vj 屬於 SCCj.
如果 N[SCCi][SCCj] == 0, 則將 (vi, vj) 保存到 E‘ 中, 如果 N[SCCi][SCCj] == 1, 則跳過該邊.
依次計算 Es 中所有邊, 此處時間 O(E‘), 而 O(E‘) < O(E), 所以算法時間復雜度 O(V + E)
Exercises 22.5-7
A directed graph G = (V, E) is semiconnected if, for all pairs of vertices u, v ∈ V,
we have u ~> v or v ~> u. Give an efficient algorithm to determine whether
or not G is semiconnected. Prove that your algorithm is correct, and analyze its
running time.
強連通組件算法, 按第 2 次 DFS(GT) 強連通組件生成順序編號, 假設是 SCC1, SCC2, ..., SCCn
如果存在邊 (SCC1, SCC2), (SCC2, SCC3), ..., (SCCn-1, SCCn) , 即組件間邊形成線性的鏈,
則圖 G 是 semiconnected. 稍後詳細解釋.
(1) 強連通組件圖算法, 時間 O(V+E)
(2) 按強連通組件 SCC 順序編號, 假設是SCC1, SCC2, ..., SCCn, 並求出組件 SCC 的鄰接表,
這步驟可以在 (1) 中完成, 所以時間 O(V+E)
(3) 遍歷 SCC 鄰接表, 如果對於範圍 i = 1, 2, ..., n-1, 強連通組件SCCi.adj 中存在 SCCi+1 ,
既含有邊 (SCCi, SCCi+1), 強連通組件圖是線性鏈, 則 G = (V, E) 是 semiconnected, 時間 O(V+E).
詳細解釋, 按算法理論的支持, SCCi+1 不存在到SCCi 的邊, 如果沒有 (SCCi, SCCi+1),
則兩者均無法到達對方, 即不符合 G 是 semiconnected 的概念. 算法時間復雜度 O(V+E)
算法導論 Exercises 22.5（轉載）