註：對隨機變量及其取值規律的研究是概率論的核心內容。在上一個小結中，總結了隨機變量的概念以及隨機變量與事件的聯系。這個小結會更加深入的討論隨機變量。

隨機變量與事件

隨機變量的本質是一種函數（映射關系），在古典概率模型中，“事件和事件的概率”是核心概念；但是在現代概率論中，“隨機變量及其取值規律”是核心概念。

隨機變量與事件的聯系與區別

小結1中對這兩個概念的聯系進行了非常詳細的描述。隨機變量實際上只是事件的另一種表達方式，這種表達方式更加形式化和符號化，也更加便於理解以及進行邏輯運算。不同的事件，其實就是隨機變量不同取值的組合。在陳希孺的書中，舉了一個很好的例子來說明兩者之間的差別：

對於隨機試驗，我們所關心的往往是與所研究的特定問題有關的某個或某些量，而這些量就是隨機變量。當然，有時我們所關心的是某個或某些特定的隨機事件。例如，在特定一群人中，年收入在萬元以上的高收入者，以及年收入在3000元以下的低收入者，各自的比率如何？這看上去像是兩個孤立的事件。可是，若我們引入一個隨機變量X：

X = 隨機抽出一個人其年收入，

則X是我們關心的隨機變量。上述兩個事件可分別表示為{X > 10000}或{X < 3000}。這就看出：隨機事件這個概念實際上包容在隨機變量這個更廣的概念之內。也可以說，隨機事件是從靜態的觀點來研究隨機現象，而隨機變量則是一種動態的觀點，一如數學分析中的常量與變量的區分那樣，變量概念是高等數學有別於初等數學的基礎概念。同樣，概率論能從計算一些孤立事件的概率發展為一個更高的理論體系，其基本概念就是隨機變量。

一下子引用了一大段話，這段話非常清楚的解釋了隨機變量與事件的區別：就像變量與常量之間的差別那樣，這樣的差別比起我自己看到的要大得多。做這樣的比較也有利於自己更好的理解“隨機變量”這個多少有點抽象的概念。

隨機變量的分類

隨機變量從其可能取的值全體的性質可以分為兩大類：離散型隨機變量和連續型隨機變量。

離散型隨機變量

離散型隨機變量的取值在整個實數軸上是間隔的，要麽只有有限個取值，要麽是無限可數的。

圖1：離散型隨機變量的概率質量分布

常見的離散型隨機變量包括以下幾種：

• 0-1分布（也叫兩點分布或伯努利分布）
• 二項分布
• 幾何分布
• 泊松分布
• 超幾何分布

連續型隨機變量

連續型隨機變量的取值要麽包括整個實數集(-∞, +∞)，要麽在一個區間內連續，總之這類隨機變量的可能取值要比離散型隨機變量的取值多得多，它們的個數是無限不可數的。

常見的連續型隨機變量包括以下幾種：

• 均勻分布
• 指數分布
• 正態分布

隨機變量的基本性質

隨機變量最主要的性質是其所有可能取到的這些值的取值規律，即取到的概率大小。如果我們把一個隨機變量的所有可能的取值的規律都研究透徹了，那麽這個隨機變量也就研究透徹了。研究隨機變量的方法主要有兩類：一類是大而全的方法，這類方法可以詳細描述所有可能取值的概率，例如累積分布函數和概率密度函數就是這類方法；另一類是找到該隨機變量的一些特征或是代表值，例如隨機變量的方差或期望等數字特征就是這類方法。見下表：

表1：常見的隨機變量的性質

References

《概率論與數量統計》，陳希孺，中國科學技術大學出版社，2009年2月第一版

中國大學MOOC：浙江大學，概率論與數理統計

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability_distribution

【概率論與數理統計】小結2 - 隨機變量概述