題目描述

作為對奶牛們辛勤工作的回報，Farmer John決定帶她們去附近的大城市玩一天。旅行的前夜，奶牛們在興奮地討論如何最好地享受這難得的閑暇。 很幸運地，奶牛們找到了一張詳細的城市地圖，上面標註了城市中所有L(2 <= L <= 1000)座標誌性建築物（建築物按1..L順次編號），以及連接這些建築物的P(2 <= P <= 5000)條道路。按照計劃，那天早上Farmer John會開車將奶牛們送到某個她們指定的建築物旁邊，等奶牛們完成她們的整個旅行並回到出發點後，將她們接回農場。由於大城市中總是寸土寸金，所有的道路都很窄，政府不得不把它們都設定為通行方向固定的單行道。 盡管參觀那些標誌性建築物的確很有意思，但如果你認為奶牛們同樣享受穿行於大城市的車流中的話，你就大錯特錯了。與參觀景點相反，奶牛們把走路定義為無趣且令她們厭煩的活動。對於編號為i的標誌性建築物，奶牛們清楚地知道參觀它能給自己帶來的樂趣值F_i (1 <= F_i <= 1000)。相對於奶牛們在走路上花的時間，她們參觀建築物的耗時可以忽略不計。 奶牛們同樣仔細地研究過城市中的道路。她們知道第i條道路兩端的建築物 L1_i和L2_i（道路方向為L1_i -> L2_i），以及她們從道路的一頭走到另一頭所需要的時間T_i(1 <= T_i <= 1000)。 為了最好地享受她們的休息日，奶牛們希望她們在一整天中平均每單位時間內獲得的樂趣值最大。當然咯，奶牛們不會願意把同一個建築物參觀兩遍，也就是說，雖然她們可以兩次經過同一個建築物，但她們的樂趣值只會增加一次。順便說一句，為了讓奶牛們得到一些鍛煉，Farmer John要求奶牛們參觀至少2個建築物。 請你寫個程序，幫奶牛們計算一下她們能得到的最大平均樂趣值。

輸入

* 第1行: 2個用空格隔開的整數：L 和 P

* 第2..L+1行: 第i+1行僅有1個整數：F_i * 第L+2..L+P+1行: 第L+i+1行用3個用空格隔開的整數：L1_i，L2_i以及T_i， 描述了第i條道路。

輸出

* 第1行: 輸出1個實數，保留到小數點後2位（直接輸出，不要做任何特殊的取 整操作），表示如果奶牛按題目中描述的一系列規則來安排她們的旅 行的話，她們能獲得的最大平均樂趣值

樣例輸入

5 7
30
10
10
5
10
1 2 3
2 3 2
3 4 5
3 5 2
4 5 5
5 1 3
5 2 2

樣例輸出

6.00

題目大意

給出一張有向圖，求一個環，使得環上的點權和/邊權和最大（每個點只計算一次，每條邊計算多次）

題解

分數規劃+Spfa

首先，可以確定的是答案一定是簡單環。

粗略的證明：如果存在一個復雜環，把它拆成兩個環，這兩個環不可能點權和/邊權和都小於復雜環的點權和/邊權和，而復雜環中點權只計算一次，因此答案更小。

所以只要找到一個比值最大的簡單環即可。這顯然是一個01分數規劃問題。

於是二分答案，把點權加到邊權上，使用Spfa判斷是否存在正環即可。

#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define N 1010
#define M 5010
using namespace std;
queue<int> q;
int n , w[N] , head[N] , to[M] , len[M] , next[M] , cnt , inq[N] , num[N];
double dis[N];
void add(int x , int y , int z)
{
    to[++cnt] = y , len[cnt] = z , next[cnt] = head[x] , head[x] = cnt;
}
bool judge(double mid)
{
    int x , i;
    double t;
    memset(dis , 0 , sizeof(dis));
    memset(num , 0 , sizeof(num));
    while(!q.empty()) q.pop();
    for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) q.push(i) , inq[i] = 1;
    while(!q.empty())
    {
        x = q.front() , q.pop() , inq[x] = 0;
        for(i = head[x] ; i ; i = next[i])
        {
            t = w[to[i]] - len[i] * mid;
            if(dis[to[i]] < dis[x] + t)
            {
                dis[to[i]] = dis[x] + t;
                if(!inq[to[i]])
                {
                    if(num[to[i]] >= n) return 1;
                    inq[to[i]] = 1 , num[to[i]] ++ , q.push(to[i]);
                }
            }
        }
    }
    return 0;
}
int main()
{
    int m , i , x , y , z , tot = 60;
    double l = 0 , r = 1e9 , mid;
    scanf("%d%d" , &n , &m);
    for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) scanf("%d" , &w[i]);
    for(i = 1 ; i <= m ; i ++ ) scanf("%d%d%d" , &x , &y , &z) , add(x , y , z);
    while(tot -- )
    {
        mid = (l + r) / 2;
        if(judge(mid)) l = mid;
        else r = mid;
    }
    printf("%.2lf\n" , r);
    return 0;
}

【bzoj1690】[Usaco2007 Dec]奶牛的旅行 分數規劃+Spfa