「Nescafé26」 Freda的傳呼機 【最短路徑+書上倍增】
阿新 • • 發佈：2017-07-22
試驗 一位 bre 最短路 isp add 交流 實現 continue 
題目：
為了隨時與rainbow快速交流，Freda制造了兩部傳呼機。Freda和rainbow所在的地方有N座房屋、M條雙向光纜。每條光纜連接兩座房屋，傳呼機發出的信號只能沿著光纜傳遞，並且傳呼機的信號從光纜的其中一端傳遞到另一端需要花費t單位時間。現在Freda要進行Q次試驗，每次選取兩座房屋，並想知道傳呼機的信號在這兩座房屋之間傳遞至少需要多長時間。Freda和rainbow簡直弱爆了有木有T_T，請你幫幫他們吧……
N座房屋通過光纜一定是連通的，並且這M條光纜有以下三類連接情況：
A：光纜不形成環，也就是光纜僅有N-1條。
B：光纜只形成一個環，也就是光纜僅有N條。
C：每條光纜僅在一個環中
頌芬數據占10%，2<=N<=1000，N-1<=M<=1200。
A類數據占30%，M=N-1。
B類數據占50%，M=N。
C類數據占10%，M>N。
對於100%的數據，2<=N<=10000，N-1<=M<=12000，Q=10000，1<=x,y<=N，1<=t<32768。
分析：
（對於直接想要AC的人，可以直接忽略此部分）
可以看到：對於10%的數據，可以簡簡單單跑一個SPFA，（但一定要註意細節，嚴格按照模板來），下面給出10分的代碼（通往AC的路是循序漸進的）：
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> #include <queue> using namespace std; struct point { int to,nxt,w; }edge[52010]; int n,m,Q,a,b,ww,cnt=0View Code; int head[52010],vis[52010]; long long dis[22010]; void init() { memset(head,0,sizeof(head)); cnt=0; } void add(int u,int v,int wei) { cnt++; edge[cnt].to=v; edge[cnt].nxt=head[u]; edge[cnt].w=wei; head[u]=cnt; } void spfa(int st) { int fron=0,tail=1; int q[120000]; memset(vis,0,sizeof(vis)); memset(dis,0x7f,sizeof(dis)); vis[st]=1; dis[st]=0; q[1]=st; do { fron++; int tt=q[fron]; vis[tt]=0; for(int i=head[tt];i;i=edge[i].nxt) { int v=edge[i].to; if(dis[v]>dis[tt]+edge[i].w) { dis[v]=dis[tt]+edge[i].w; if(!vis[v]) { vis[v]=1; tail++; q[tail]=v; } } } }while(fron!=tail); } int main() { cin>>n>>m>>Q; init(); for(int i=1;i<=m;i++) { cin>>a>>b>>ww; add(a,b,ww); add(b,a,ww); } while(Q--) { cin>>a>>b; spfa(a); cout<<dis[b]<<endl; } return 0; }
剩下的能跑出樹上倍增的，相信離成功也不遠了。仔細看看題目中紅色的字體，會發現實際上所有的環只可能有公共頂點，不可能有公共邊，這樣畫出來就很像一個仙人掌（其實名稱都不重要），那麽我們該如何處理這樣的一個個環呢？其實可以想到，我們以每一個公共頂點為樹根，可以把多個環轉化成一棵樹，其中樹枝長就是環中每個點到頂點的最短距離，但一定要分別記錄每個點從兩邊到環頂的距離 l[i] 和 r[i]，因為轉換成一棵樹後，從樹上看來似乎是每兩個點之間的路徑必過頂點，但實際上在環中兩個點完全可以不通過頂點而相互到達，因此兩個點若在一個環中（這裏實現的時候用一個數組分別記錄每個點所在的環的編號和環頂），就有：
dis[x][y]= min( l[x]+r[y] , l[y]+r[x] , abs(r[x]-r[y]) );//一左一右到環頂，一右一左到環頂，和不通過環頂
然後至於樹上倍增，我們用fa[x][i]表示從x這個節點往上2^i步能到的節點，用dis[x][i]表示從x這個節點到fa[x][i]這個祖先的距離；
就有初始化（遞推）：
fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1]；//從上一個位置再走一步 dis[x][i]=dis[fa[x][i-1]][i-1]+dis[x][i-1];//走半截再走半截
於是此題就可以AC了：
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cmath> #include <algorithm> using namespace std; const int maxn=121000; struct point1 { int to,nxt,w; }edge[maxn<<1]; struct point2 { int to,nxt,w; }edge2[maxn<<1]; int n,m,Q,a,b,ww,ss=0,ttt=0,n_cir=0; int lop[maxn][4];//詳見62~65行 int e[maxn][4],pre[maxn][3],bin[20],dfn[maxn],dep[maxn],head1[maxn],head2[maxn]; /*pre[i][0/1],0為i前一個是誰，1為i前一條邊長*/ int dis[maxn][20],fa[maxn][20]; void init() { bin[0]=1; for(int i=1;i<=18;i++) bin[i]=bin[i-1]<<1; } int cnt=0; void add(int u,int v,int wei) { edge[cnt].to=v; edge[cnt].nxt=head1[u]; edge[cnt].w=wei; head1[u]=cnt++; } int ct=0; void ins(int u,int v,int wei) { edge2[ct].to=v; edge2[ct].nxt=head2[u]; edge2[ct].w=wei; head2[u]=ct++; } void dfs(int x,int y,int fa) { ttt++; dfn[x]=ttt; for(int i=head1[x];~i;i=edge[i].nxt) { int v=edge[i].to; if(v==fa && i==(y^1)) continue; if(dfn[v]!=0 && dfn[v]<dfn[x])//找到一個環 { int len=edge[i].w; n_cir++; for(int j=ss;pre[j][0]!=v;j--) len+=pre[j][1]; lop[x][0]=n_cir;//環的編號 lop[x][1]=v;//環的頂點 lop[x][2]=edge[i].w;//從一邊到頂點的距離 lop[x][3]=len-lop[x][2];//從另一邊 ins(v,x,min(lop[x][2],lop[x][3]));//正反建圖 ins(x,v,min(lop[x][2],lop[x][3]));//按最短路徑重新建圖 for(int j=ss-1;pre[j][0]!=v;j--) { int z=pre[j][0]; lop[z][0]=n_cir; lop[z][1]=v; lop[z][2]=lop[pre[j+1][0]][2]+pre[j+1][1]; lop[z][3]=len-lop[z][2]; ins(v,z,min(lop[z][2],lop[z][3])); ins(z,v,min(lop[z][2],lop[z][3])); } } if(dfn[v]) continue; pre[++ss][0]=v; pre[ss][1]=edge[i].w; dfs(v,i,x); } ss--; } void dfss(int x) { for(int i=1;i<=18;i++) { if(dep[x]<bin[i]) break; fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1]; dis[x][i]=dis[fa[x][i-1]][i-1]+dis[x][i-1]; } for(int i=head2[x];~i;i=edge2[i].nxt) { if(edge2[i].to!=fa[x][0]) { int v=edge2[i].to; fa[v][0]=x; dep[v]=dep[x]+1;//深度在待會lca要用 dis[v][0]=edge2[i].w; dfss(v); } } } int lca(int x,int y) { int sum=0; if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y); int t=dep[x]-dep[y]; for(int i=0;i<=18;i++) if(t&bin[i])//y在x下面，t的二進制在i那一位上有1 (保證要用2^i湊齊t) { sum+=dis[x][i]; x=fa[x][i]; } for(int i=18;i>=0;i--) { if(fa[x][i]!=fa[y][i]) { sum+=dis[x][i]+dis[y][i]; x=fa[x][i]; y=fa[y][i]; } } if(x==y) return sum; if(lop[x][0]==lop[y][0] && lop[x][0]!=0) sum+=min(min(lop[x][2]+lop[y][3],lop[y][2]+lop[x][3]),abs(lop[x][2]-lop[y][2])); else sum+=dis[x][0]+dis[y][0]; return sum; } int main() { memset(head1,-1,sizeof(head1)); memset(head2,-1,sizeof(head2)); init(); cin>>n>>m>>Q; for(int i=1;i<=m;i++) { cin>>a>>b>>ww; add(a,b,ww); add(b,a,ww); e[i][1]=a; e[i][2]=b; e[i][3]=ww; } ss=1; pre[1][0]=1; pre[1][1]=0; dfs(1,-1,0);//找環，並計算出每個點到環頂的最短路 for(int i=1;i<=m;i++) { int aa=e[i][1]; int bb=e[i][2]; int cc=e[i][3]; if( (lop[aa][0]!=lop[bb][0] || !lop[aa][0] || !lop[bb][0]) && lop[aa][1]!=bb && lop[bb][1]!=aa) { ins(aa,bb,cc); ins(bb,aa,cc); } } dfss(1);//倍增處理 while(Q--) { cin>>a>>b; cout<<lca(a,b)<<endl; } return 0; }
「Nescafé26」 Freda的傳呼機 【最短路徑+書上倍增】