模板題：

　　給定$n = 2^k$和兩個序列$A_{0..n-1}$, $B_{0..n-1}$，求

　　$$C_i = \sum_{j \oplus k = i} A_j B_k$$

　　其中$\oplus$是某一滿足交換律的位運算，要求復雜度$O(nlogn)$。

快速沃爾什變換：

　　這是什麽東西？有用嗎？請參閱SDOI2017r2d1-cut。

　　看到這個大家是不是立刻想到了快速傅裏葉變換？

　　$$C_i = \sum_{j + k = i} A_j B_k$$

　　我們來想想離散傅裏葉變換的本質。

　　$$\begin{aligned}& DFT(A)_i \\
　　&= A(\omega_n^i)\\
　　&=\sum_{j = 1}^n A_j * (\omega_n^i)^j\end{aligned}$$

　　令$f(n, i, j) = (\omega_n^i)^j$，則

　　$$DFT(A)_i = \sum_{j = 1}^n A_j f(n, i, j)$$

　　它要滿足$DFT(A)_i * DFT(B)_i = DFT(C)_i$，即

　　$$(\sum_{j = 1}^n A_j f(n, i, j))(\sum_{k = 1}^n B_k f(n, i, k))=\sum_{l = 1}^n C_l f(n, i, l)$$

　　$$\sum_{j = 1}^n \sum_{k = 1}^n A_j B_k f(n, i, j) f(n, i, k))=\sum_{l = 1}^n (\sum_{a+b=l} A_a B_b) f(n, i, l)$$

　　這時我們發現左右分別有$n^2$項，令對應項系數相等，得

　　$$f(n, i, j)f(n, i, k) = f(n, i, j + k)$$

　　只要任意一個可以進行逆變換且滿足上述條件的$f$都可以。

　　現在我們把上面的$+$都改成$\oplus$，就是離散沃爾什變換即

　　$$DWT(A)_i = \sum_{j = 1}^n A_j f(n, i, j)$$

　　$$f(n, i, j)f(n, i, k) = f(n, i, j \oplus k)$$

　　怎麽樣，是不是雲裏霧裏頓開茅塞？

　　然而我們還需要變快，所以快速傅裏葉變換采用

　　$$f(n, i, j) = (\omega_n^i)^j$$

　　那它有什麽優美的性質呢？

　　我們發現， 由於有折半引理，$f(n, i, j)$和$f(n, i+n/2, j)$可以同時從$f(n/2,i,j)$得來。

　　那麽，從感性的角度，既然$\oplus$是一個位運算，那麽應該更容易找到一個跟位運算有關的$f$，這樣就自然有類似折半引理的東西使得我們可以做到上述事情。

　　例如，當$\oplus$是位與時，可以取$f(i, j) = [i \& j = i]$， 即$j$的二進制完全包含在$i$的二進制裏時為1，否則為0。

　　當$\oplus$是位異或時， 可取$f(i, j) = (-1)^{count(i \& j)}$，其中$count(x)$表示$x$的二進制表示中1的個數。

逆變換：

　　逆變換看上去好難啊。。。

　　其實逆變換還是比較簡單的。因為既然$f$跟位運算有關，我就只需要考慮某一位就好了。

　　例如$\oplus$是位異或時我考慮$n=2,A=(a_0, a_1)$，

　　那麽$DWT(A) = (da_0 = a_0 + a_1, da_1 = a_0 - a_1)$

　　我只需要解一個二元一次方程（把$da_0, da_1$作為常數， $a_0, a_1$作為變量）就可以解出$a_0, a_1$了。

　　沒了。

關於$f$函數的構造：

　　$f$函數怎麽構造。。。和逆變換的方法差不多啊。。。只需要看$n=2$的情況就行（實際上一般就是$-1$的幾次冪，或者$0, 1, -1$)

　　如果記憶力好可以把所有都背下來，反正滿足交換律的位運算只有8個。。。

　　列一些出來吧。。。（下列$f$函數均將第一個參數$n$省略， $[expr]$在布爾表達式$expr$為真時為1， 否則為假）

　　$\oplus$為位與： $f(i, j) = [j \& i = i]$.

　　$\oplus$為位或： $f(i, j) = [j \& i = j]$.

　　$\oplus$為位異或： $f(i, j) = (-1)^{count(i \& j)}$.

　　$\oplus$為位與非，位或非的時候把三個數組的下標都取反就對應位或和位與。

　　$\oplus$為同或時直接求位異或卷積再把$C$的下標取反就行了。

吐槽：

　　明明可以感性的理解我偏要說這麽多。。。

　　只是因為閑的慌。。。

　　當然是要幫助大家更好的理解FWT。

　　至於為什麽要滿足交換律。。。我才不會告訴你我還沒有搞出不滿足怎麽做。

　　有同學說FWT難以感性理解。。。我也不知道如何感性理解。。。

　　代碼嘛。。。直接拿FFT改一改就好了。。。

Fast Walsh-Hadamard Transform——快速沃爾什變換