BZOJ3163&Codevs1886: [Heoi2013]Eden的新背包問題[分治優化dp]
3163: [Heoi2013]Eden的新背包問題
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Description
“寄沒有地址的信，這樣的情緒有種距離，你放著誰的歌曲，是怎樣的心心靜，能不能說給我聽。”
失憶的Eden總想努力地回憶起過去，然而總是只能清晰地記得那種思念的感覺，卻不能回憶起她的音容笑貌。 記憶中，她總是喜歡給Eden出謎題：在 valentine’s day 的夜晚，兩人在鬧市中閑逛時，望著禮品店裏精巧玲瓏的各式玩偶，她突發奇想，問了 Eden這樣的一個問題：有n個玩偶，每個玩偶有對應的價值、價錢，每個玩偶都可以被買有限次，在攜帶的價錢m固定的情況下，如何選擇買哪些玩偶以及每個玩偶買多少個，才能使得選擇的玩偶總價錢不超過m，且價值和最大。眾所周知的，這是一個很經典的多重背包問題，Eden很快解決了，不過她似乎因為自己的問題被飛快解決感到了一絲不高興，於是她希望把問題加難：多次 詢問，每次詢問都將給出新的總價錢，並且會去掉某個玩偶（即這個玩偶不能被選擇），再問此時的多重背包的答案（即前一段所敘述的問題）。
Input
第一行一個數n，表示有n個玩偶，玩偶從0開始編號
第二行開始後面的 n行，每行三個數 ai, bi, c i，分別表示買一個第i個玩偶需
要的價錢，獲得的價值以及第i個玩偶的限購次數。
接下來的一行為q，表示詢問次數。
接下來q行，每行兩個數di. ei表示每個詢問去掉的是哪個玩偶（註意玩偶從0開始編號）以及該詢問對應的新的總價錢數。（去掉操作不保留，即不同詢問互相獨立）
Output
輸出q行，第i行輸出對於第 i個詢問的答案。
Sample Input
52 3 4
4 1 2
2 1 1
3 2 3
5
1 10
2 7
3 4
4 8
0 5
Sample Output
1311
6
12
4
HINT
一共五種玩偶，分別的價錢價值和限購次數為 (2,3,4)， (1,2,1)， (4,1,2)， (2,1,1)，(3,2,3)。五個詢問，以第一個詢問為例。第一個詢問表示的是去掉編號為1的玩偶，且擁有的錢數為10時可以獲得的最大價值，則此時剩余玩偶為(2,3,4)，(4,1,2)，(2,1,1)，(3,2,3)，若把編號為0的玩偶買4個（即全買了），然後編號為3的玩偶買一個，則剛好把10元全部花完，且總價值為13。可以證明沒有更優的方案了。註意買某種玩偶不一定要買光。
100. 數據滿足1 ≤ n ≤ 1000, 1 ≤ q ≤ 3*105 , 1 ≤ a
i、bi、c i ≤ 100, 0 ≤ d i < n, 0 ≤ei ≤ 1000。
Source
1
直接做完全背包顯然不行。 考慮分治。 Solve(l,r)表示，當前維護的dp數組，記錄的答案是除去[l,r]外的物品的答案。 Solve(l,mid)時，用[mid+1,r]內的物品轉移dp數組。 當l=r時，將所有ban=l=r的詢問一起（查dp數組）求答案。 時間復雜度O(nwlogn)#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; inline void read(int &x){ register char ch=getchar();x=0; while(ch<‘0‘||ch>‘9‘) ch=getchar(); while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘) x=(x<<3)+(x<<1)+ch-‘0‘,ch=getchar(); } const int N=1002; const int M=1e6+5; struct things{int wei,val,t;}d[N]; int n,m,p,q[M],ban[M],lim[M],ans[M]; int dp[11][N]; inline bool cmp(const int &x,const int &y){return ban[x]<ban[y];} //多重背包(用余數搞單調隊列優化) //一個很好的解釋：http://blog.csdn.net/qiusuo800/article/details/8820905 inline void trans(int *f,int wei,int val,int t){ pair<int,int>q[N]; for(int b=0;b<wei;b++){ int qh=1,qt=0,now; for(int j=0;(now=b+j*wei)<1001;j++){ for(;qh<=qt&&q[qt].second<=f[now]-j*val;qt--); for(;qh<=qt&&j-q[qh].first>t;qh++); q[++qt]=make_pair(j,f[now]-j*val); f[now]=q[qh].second+j*val; } } } void solve(int l,int r,int dep){ if(l==r){ for(;p<=m&&ban[q[p]]==l;p++) ans[q[p]]=dp[dep][lim[q[p]]]; return ; } int mid=(l+r)>>1; memcpy(dp[dep+1],dp[dep],sizeof dp[dep]); for(int i=mid+1;i<=r;i++) trans(dp[dep+1],d[i].wei,d[i].val,d[i].t); solve(l,mid,dep+1); memcpy(dp[dep+1],dp[dep],sizeof dp[dep]); for(int i=l;i<=mid;i++) trans(dp[dep+1],d[i].wei,d[i].val,d[i].t); solve(mid+1,r,dep+1); } int main(){ read(n); for(int i=1;i<=n;i++) read(d[i].wei),read(d[i].val),read(d[i].t); read(m); for(int i=1;i<=m;i++) read(ban[i]),read(lim[i]),ban[i]++,q[i]=i; stable_sort(q+1,q+m+1,cmp);p=1; // memset(dp[0],0,sizeof dp[0]); solve(1,n,0); for(int i=1;i<=m;i++) printf("%d\n",ans[i]); return 0; }
UPD.2
/* 離線預處理：多重背包正掃一遍，反掃一遍 ans=max(f[k1][j]+f_rev[k1+2][t1-j]){0<=j<=t1} attention: 習慣了一維的二進制拆分，二維的多重背包居然不會了~~ */ #include<cstdio> #include<iostream> using namespace std; int read(){ int x=0,f=1;char ch=getchar(); while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();} while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘){x=x*10+ch-‘0‘;ch=getchar();} return x*f; } const int N=1005; int n,m,v[N],w[N],c[N],f[N][N],f_rev[N][N]; void pre_deal(){ for(int i=1,tmp;i<=n;i++){ tmp=c[i]; for(int j=1;j<=1000;j++) f[i][j]=f[i-1][j]; for(int j=1;tmp!=0;j<<=1){ j=min(j,tmp); tmp-=j; for(int k=1000;k>=j*v[i];k--){ f[i][k]=max(f[i][k],f[i][k-j*v[i]]+j*w[i]); } } } for(int i=n,tmp;i>=1;i--){ tmp=c[i]; for(int j=1;j<=1000;j++) f_rev[i][j]=f_rev[i+1][j]; for(int j=1;tmp!=0;j<<=1){ j=min(j,tmp); tmp-=j; for(int k=1000;k>=j*v[i];k--){ f_rev[i][k]=max(f_rev[i][k],f_rev[i][k-j*v[i]]+j*w[i]); } } } } int main(){ n=read(); for(int i=1;i<=n;i++) v[i]=read(),w[i]=read(),c[i]=read(); pre_deal(); m=read(); for(int k1,t1,ans;m--;){ k1=read();t1=read();ans=0; for(int j=0;j<=t1;j++) ans=max(ans,f[k1][j]+f_rev[k1+2][t1-j]); printf("%d\n",ans); } return 0; }
BZOJ3163&Codevs1886: [Heoi2013]Eden的新背包問題[分治優化dp]