【LeetCode】647. 迴文子串
阿新 • • 發佈：2020-08-19
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647. 迴文子串
題目描述
示例 1：
輸入："abc"
輸出：3
解釋：三個迴文子串: "a", "b", "c"
示例 2：
輸入："aaa"
輸出：6
解釋：6個迴文子串: "a", "a", "a", "aa", "aa", "aaa"
提示：
輸入的字串長度不會超過 1000 。
解題思路
1.暴力列舉
- 字串問題最土最有效的方法應該就是暴力枚舉了，利用雙重for迴圈可以得到字串s的所有子串，然後對這些子串進行一一判斷，如果是迴文串，ans++;
- 一般來說，暴力都會被卡超時，沒想到這題竟然過了
2.中心擴充套件法
通過觀察可以發現，迴文字串分為兩種：
- 偶數型迴文字串：如果迴文字串的長度為偶數，那麼它中間一定是兩個相同的元素，例如cbaabc，中間是兩個相同的aa；
- 奇數型迴文字串：如果迴文字串的長度為奇數，那麼它中間一定是一個元素，例如cbabc，中間一個a元素；
所以用for先找偶數型（aa)迴文，找s[i]=s[i+1]，找到後再往兩邊推，直到s[i-len]與s[i+1+len]不等為止。
然後再找奇數型（aba）迴文，找s[i]=s[i+2]，找到後處理同上。
因為這是從迴文中間出發，所以也叫中心擴充套件法。
3.動態規劃
動態規劃一般也只能應用於有最優子結構的問題。最優子結構的意思是區域性最優解能決定全域性最優解(對有些問題這個要求並不能完全滿足，故有時需要引入一定的近似)。簡單地說，問題能夠分解成子問題來解決。 動態規劃演算法分以下4個步驟： （1）描述最優解的結構 （2）遞迴定義最優解的值 （3）按自底向上的方式計算最優解的值 //此3步構成動態規劃解的基礎。 （4）由計算出的結果構造一個最優解。 //此步如果只要求計算最優解的值時，可省略。 好，接下來，咱們討論適合採用動態規劃方法的最優化問題的倆個要素：最優子結構性質，和子問題重疊性質。 （1）最優子結構 如果問題的最優解所包含的子問題的解也是最優的，我們就稱該問題具有最優子結構性質（即滿足最優化原理）。意思就是，總問題包含很多個子問題，而這些子問題的解也是最優的。 （2）重疊子問題 子問題重疊性質是指在用遞迴演算法自頂向下對問題進行求解時，每次產生的子問題並不總是新問題，有些子問題會被重複計算多次。動態規劃演算法正是利用了這種子問題的重疊性質，對每一個子問題只計算一次，然後將其計算結果儲存在一個表格中，當再次需要計算已經計算過的子問題時，只是在表格中簡單地檢視一下結果，從而獲得較高的效率。
該問題滿足最優子結構性質：一個最長迴文串去掉兩頭以後，剩下的部分依然是最長迴文串。
第一步：定義狀態
dp[i][j]：表示子串s[i,j]是否為迴文子串。
當dp[i][j] = 1：表示子串s[i,j]為迴文子串，反之。
第二步：狀態轉移方程
這一步在做分類討論（根據頭尾字元是否相等）。
if(j-i >= 2){
dp[i][j] = 1, if dp[i+1][j-1] == 1 && s[i] == s[j]
dp[i][j] = 0, if dp[i+1][j-1] == 0 || s[i] != s[j]
}
else{
dp[i][j] = 1，if s[i] == s[j]
dp[i][j] = 0，if s[i] != s[j]
}
-Q：j-i >= 2這個條件是如何求解出來的？
-A：因為dp[i][j]表示子串s[i,j]是否為迴文子串，所以i<=j,同理dp[i+1][j-1]中,i+1 <= j-1，整理得j - i <= 2.
第三步：考慮初始化
初始化的時候，單個字元一定是迴文串，因此把對角線先初始化為 1，即 dp[i,i] = 1 。
第四步：考慮輸出
判斷dp[i,j]是否等於 1，等於的話ans++即可。
第五步：考慮狀態是否可以壓縮
因為在填表的過程中，只參考了左下方的數值。事實上可以壓縮，但會增加一些判斷語句，增加程式碼編寫和理解的難度，丟失可讀性。在這裡不做狀態壓縮。
AC程式碼
1.暴力列舉
class Solution {
//判斷是否為迴文子串建議都這樣寫for迴圈語句，這樣能夠減少迴圈次數。
boolean charge(String s){
for(int i = 0; i < s.length() / 2; i++){
if(s.charAt(i) != s.charAt(s.length() - i - 1)) return false;
}
return true;
}
public int countSubstrings(String s) {
//因為單個字母也算迴文，所以ans的初始值就是字串的長度。
int ans = s.length();
for(int i = 0; i < s.length() - 1; i++){
StringBuilder sb = new StringBuilder();
sb.append(s.charAt(i));
for(int j = i + 1; j < s.length(); j++){
sb.append(s.charAt(j));
if(charge(sb.toString())){
ans++;
}
}
}
return ans;
}
}
2.中心擴充套件法
class Solution {
public int countSubstrings(String s) {
int ans = s.length();
//奇數型迴文
for(int i = 0; i < s.length() - 2; i++){
if(s.charAt(i) == s.charAt(i+2)){
ans++;
int temp = 1;
while((i-temp)>=0 && (i+2+temp)<s.length() && s.charAt(i-temp)==s.charAt(i+2+temp)){
ans++;
temp++;
}
}
}
//偶數型迴文
for(int i = 0; i < s.length() - 1; i++){
if(s.charAt(i) == s.charAt(i+1)){
ans++;
int temp = 1;
while((i-temp)>=0&&(i+1+temp)<s.length() && s.charAt(i-temp)==s.charAt(i+1+temp)){
ans++;
temp++;
}
}
}
return ans;
}
}
3.動態規劃法
填表必須是從上往下如箭頭所示，一開始我選擇從左到右填表，卡了很久。
dp[0][5]依賴與dp[1][4]以及s[0]s[5]是否相等，如果你是從左到右填表，那dp[1][4]的值是未知的。
class Solution {
public int countSubstrings(String s) {
int[][] dp = new int[s.length()][s.length()];
int ans = 0;
for(int i = 0; i < s.length(); i++){
dp[i][i] = 1;
ans++;
}
//下面的兩個for迴圈就是在填表格！但是要注意填表的順序！！！！！！！！
for(int j = 0; j < s.length(); j++){
for(int i = 0; i < j; i++){
if(j - i <= 2){
if(s.charAt(j) == s.charAt(i)) dp[i][j] = 1;
else dp[i][j] = 0;
}
else{
if(s.charAt(j) == s.charAt(i) && dp[i+1][j-1]==1) dp[i][j] = 1;
else dp[i][j] = 0;
}
if(dp[i][j] == 1) ans++;
}
}
return ans;
}
}