【知識點】KMP演算法詳解
KMP演算法
演算法簡介
KMP演算法，即看毛片 \({Knuth-Morris-Pratt}\) 演算法。是由三位電腦科學家 \(D.E.Knuth、J.H.Morris、V.R.Pratt\) 提出的。該演算法可以在 \(O(n+m)\) 的時間複雜度內查詢一個字串在另一個字串中的位置。
KMP演算法的基本原理就是尋找模式串的公共前後綴，以優化時間複雜度。
演算法原理
盜用百度的圖片（推薦閱讀）
首先，假設我們有一個字串和一個需要比對的“模式串”，如圖：
首先，我們一個華（bao）麗（li）的開頭，就是把模式串與子串進行逐位匹配：
但是我們發現第六個字元不匹配。
按照傳統的思路，我們需要將模式串右移一位，然後繼續諸位比較。但是KMP演算法是一個毒瘤
我們發現目前已經匹配的子串中，字首和字尾都是一樣的，都是“GTG”：
所以我們驚訝地發現，我們可以直接把模式串右移到最長可匹配字尾的位置，然後繼續愉快的比較
可是又出現了一個“壞字元”，我們應該如何處理呢？
沒錯，繼續尋找可匹配最長字首和字尾，然後再次移動模式串。
以此類推。這就是KMP演算法的流程。
原理應該理解了，那麼要如何實現呢？
演算法實現
一、\(nxt\) 陣列
\(nxt\) 是一個一維整型陣列，陣列的下標代表了“已匹配字首的下一個位置”，元素的值則是“最長可匹配字首子串的下一個位置”。如圖所示：
其中，由於子串“G”、“GT”、“GTGTGC”沒有可匹配的字首和字尾，所以對應的 \(nxt\)
只要我們求出 \(nxt\) 陣列，我們就可以解決尋找最長可匹配前後綴並移動模式串的問題了。
相信聰明的你已經理解了
二、求出 \(nxt\) 陣列
我們設兩個變數，\(i\) 和 \(j\) ，它們分別表示“已匹配字首的下一個位置”，也就是待填充的陣列下標，和“最長可匹配字首子串的下一個位置”，也就是待填充的陣列元素值。它們的初始值如下：
求出 \(nxt\) 陣列的過程，就是用模式串“自己匹配自己”。
首先，我們讓 \(i++\) 。
此時，一匹配子串長度為 \(1\) ，不存在可匹配字尾，故 \(nxt[1]=0\)。
我們令 \(i\) 繼續 \(+1\)。
可以發現，最長可匹配前後綴子串仍不存在，所以 \(nxt[2]=0\)
當 \(i\) 又一次加一時，我們發現此時的模式串 \(s\) 中存在 \(s[j]=s[i-1]\) ，於是 \(nxt[3]=nxt[2]+1=1\) 。
現在，我們需要讓 \(i,\ j\) 都加一。
我們驚訝的發現，\(s[j]=s[i-1]='T'\) ，所以可匹配最長前後綴子串的長度加一，即 \(nxt[4]=nxt[3]+1=2\)。
當 \(i,\ j\) 再次同時加一後，我們找到了 \(s[j]=s[i-1]='G'\)，所以 \(nxt[5]=nxt[4]+1=3\)
可是此時的 \(s[j]\) 和 \(s[i-1]\) 不匹配了，怎麼辦呢？
按照套路，應該移動模式串了。如何移動？簡單地移動一位嗎？當然不，我們令 \(j=nxt[j]\) 。
可是天不從人願，我們發現字元仍然不匹配。所以再次使 \(j=nxt[j]\) 。
此時， \(j\) 已經無法回溯，所以 \(nxt[6]=0\)， \(nxt\) 陣列就求出來了。
推導完畢。匹配的過程也類似。
建議將 \(nxt\) 陣列的推導多看幾遍，這樣可以加深理解。因為 \(nxt\) 陣列的推導過程是KMP演算法最反人類核心的地方。
具體程式碼實現
\(\mathtt{Talking\ is\ cheap,\ show\ me\ the\ code.}\)
void KMP(char *s1,char *s2)
{
/* KMP演算法
* @params s1為主串，s2為模式串，l1,l2分別是它們的長度
* @from 程式碼來自Luogu P3375，是一道KMP模板題
*/
int l1=strlen(s1),l2=strlen(s2);
int j=0;
for(int i=2;i<=l2;i++)
{
while(j && s2[i]!=s2[j+1])
j=nxt[j];
if(s2[i]==s2[j+1]) j++;
nxt[i]=j;
}
j=0;
for(int i=1;i<=l1;i++)
{
while(j && s1[i]!=s2[j+1])
j=nxt[j];
if(s1[i]==s2[j+1]) j++;
if(j==l2)
printf("%d\n",i-l2+1),j=nxt[j];
}
}
注：\(Galax OJ\) 的 \(KMP\) 練習題題解已經在路上啦~