【二分圖】HEOI2012 朋友圈
題目內容
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在很久很久以前，曾經有兩個國家和睦相處，無憂無慮的生活著。
一年一度的評比大會開始了，作為和平的兩國，一個朋友圈數量最多的永遠都是最值得他人的尊敬，所以現在就是需要你求朋友圈的最大數目。兩個國家看成是AB兩國，現在是兩個國家的描述：
\(A\)國：每個人都有一個友善值，當兩個\(A\)國人的友善值\(a,b\)，如果\(a\text{ xor}\text{ }b \bmod 2=1\)，那麼這兩個人都是朋友，否則不是；
\(B\)國：每個人都有一個友善值，當兩個\(B\)國人的友善值\(a,b\)，如果\(a\text{ xor}\text{ }b \bmod 2=0\)或者(\(a\text{ or}\text{ }b\)
\(A、B\)兩國之間的人也有可能是朋友，資料中將會給出\(A、B\)之間“朋友”的情況。 對於朋友的定義，關係是是雙向的。 在AB兩國，朋友圈的定義：一個朋友圈集合 \(S\)，滿足\(\subset A \cup B\)對於所有的\(i,j \in S\)，\(i\)和\(j\)是朋友。
由於落後的古代，沒有電腦這個也就成了每年最大的難題，而你能幫他們求出最大朋友圈的人數嗎？
輸入格式
第一行一個整數\(T（T\leq 6）\),表示輸入資料總數。
對於每組資料：
第一行三個整數 \(A,B,M\)，分別表示\(A\)國人數，\(B\)
第二行\(A\)個數\(a_i\)，表示A國第\(i\)個人的友善值。
第三行\(B\)個數\(b_i\)，表示B國第\(i\)個人的友善值。
第\(4\)到第\(3+M\)行，每行兩個整數\(x,y\)表示\(A\)國的第\(x\)個人和\(B\)國第\(y\)個人是朋友。
輸出格式
輸出\(T\)行，每行輸出一個整數，表示最大朋友圈的數目。
資料範圍
友善值為int型別正整數。
有兩類資料：
第一類：\(|A| \leq 200, |B| \leq 200\)；
第二類：\(|A| \leq 10, |B| \leq 3000\)。
樣例輸入
1
2 4 7
1 2
2 6 5 4
1 1
1 2
1 3
2 1
2 2
2 3
2 4
樣例輸出
5
最大朋友圈包含\(A\)國第\(1,2\)人和\(B\)國第\(1,2,3\)人。
思路
先吐槽：因為按位異或和按位與的優先順序調這個破題一下午，謝謝有被噁心到。
此題一看就可知道是一個求最大團的問題，然而一般無向圖的求最大團是一個\(NPC\)問題，況且看到其資料範圍就可以棄了。所以我們要分析一下其中的性質。
先看\(B\)國，可以看出其為一些奇數點和偶數點，況且其中存在一些連邊。是二分圖既視感。不過二分圖是兩邊的部點不存在連邊，所以我們需要建一個關於\(B\)國的補圖。同時補圖的最小獨立集就是原圖的最大團，於是\(B\)國直接建補圖跑最大獨立集即可。
再看\(A\)國，其要求可理解為選出的人要求兩兩奇偶不同，所以\(A\)國只能選出\(0、1、2\)人，再看\(B\)國中和這幾個人有關係的跑最大獨立集，我們直接暴力把所有情況取個\(\max\)即可，記得最大獨立集\(=n-\)最大匹配數。
然後你快樂的連邊之後一頓非常巨的操作跑匈牙利寫完了發現\(T\)了幾個點。（然後並不會\(Dinic\)），所以這時候就需要時間戳優化匈牙利。
匈牙利中佔了時間效率很大的一塊就是memset，每次都要memset理論每次都是\(O(n)\)的效率（當然肯定要小一點），那麼每匹配一次都是\(O(n^2)\)的，這個題要求多次匹配豈不是直接掛了。
所以時間戳優化出現了！其實根本沒那麼高深，設一個時間戳為\(\text{Clock}\)，原來的布林型別陣列就改為整數型別，轉化如下：
\[vis[v]=1\rightarrow vis[v]=\text{Clock} \]
\[vis[v]=0\rightarrow vis[v]\not=\text{Clock} \]
每次Clock++，即可\(O(1)\)初始化。
然後就愉快的跑就完事了才不，這個毒瘤出題人居然卡常，跑匈牙利的函式裡的那個迴圈必須加register才能過（大資料開了\(\text{200ms}\)），否則卡線\(TLE\)。
其他沒啥了。
程式碼
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=3000+10;
const int maxm=2e6+10;
int totA,totB,M,ans=-1;
int a[maxn],b[maxn];
bool g[maxn][maxn];
struct Edge{
int from,to,nxt;
}e[maxm];
inline int read(){
int x=0,fopt=1;
char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){
if(ch=='-')fopt=-1;
ch=getchar();
}
while(isdigit(ch)){
x=(x<<3)+(x<<1)+ch-48;
ch=getchar();
}
return x*fopt;
}
int head[maxm],cnt;
inline void add(int u,int v){
e[++cnt].from=u;
e[cnt].to=v;
e[cnt].nxt=head[u];
head[u]=cnt;
}
int Time1,Time2;//時間戳，一個用於vis陣列，一個用於標記朋友關係
int vis[maxn],match[maxn],flag[maxn];
bool dfs(int u){
for(register int i=head[u];i;i=e[i].nxt){//實測只有這加register最快，別的加上反而慢了
int v=e[i].to;
if(vis[v]!=Time1&&flag[v]==Time2){
vis[v]=Time1;
if(!match[v]||dfs(match[v])){
match[v]=u;
return 1;
}
}
}
return 0;
}
inline int Count(int x){//數二進位制1的個數
int res=0;
while(x){
if(x&1)res++;
x>>=1;
}
return res;
}
inline void SolveA(){
int sum=0;
for(int i=1;i<=totB;i++)
if(b[i]&1){
Time1++;
if(dfs(i))sum++;
}//選0個，直接對B跑匹配
ans=max(ans,totB-sum);
for(int i=1;i<=totA;i++){
int tot=0;sum=0;Time2++;
memset(match,0,sizeof(match));
for(int j=1;j<=totB;j++)
if(g[i][j+totA]){
flag[j]=Time2;tot++;//是朋友則flag[j]=1
}
for(int j=1;j<=totB;j++)
if((b[j]&1)&&flag[j]==Time2){
Time1++;
if(dfs(j))sum++;
}
ans=max(ans,tot-sum+1);//選1個，記得加上選的那個1
}
for(int i=1;i<=totA;i++)
for(int j=i+1;j<=totA;j++){
if((a[i]^a[j])&1){//記得加括號，否則你會後悔的
int tot=0;sum=0;Time2++;
memset(match,0,sizeof(match));
for(int k=1;k<=totB;k++)
if(g[i][k+totA]&&g[j][k+totA]){
flag[k]=Time2;tot++;
}
for(int k=1;k<=totB;k++)
if((b[k]&1)&&flag[k]==Time2){
Time1++;
if(dfs(k))sum++;
}
ans=max(ans,tot-sum+2);//同理，選2個
}
}
}
inline void SolveB(){
for(int i=1;i<=totB;i++)
if(b[i]&1){//建補圖，即取條件不符合的
for(int j=1;j<=totB;j++){
if(!(b[j]&1)&&!(Count(b[i]|b[j])&1))
add(i,j);
}
}
}
int main(){
int T=read();
while(T--){
totA=read(),totB=read(),M=read();
for(int i=1;i<=totA;i++)
a[i]=read();
for(int i=1;i<=totB;i++)
b[i]=read();
SolveB();
for(int i=1;i<=M;i++){
int u=read(),v=read();
g[u][v+totA]=g[v+totA][u]=1;//記錄朋友關係
}
SolveA();
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}