\(Preface\)

餘未曾想到，樹狀陣列居然是一個這麼高階的東西。

從未想到過樹狀陣列上還可以二分，從未想到過樹狀陣列還能實現平衡樹的功能。

唔姆，樹狀陣列果然也是美麗的，餘喜歡一切美麗的東西。

樹狀陣列上二分

眾所周知，樹狀陣列上的\(a_i\)維護的是\(\sum_{k=i-lowbit(i)+1}^ival_k\)。

考慮強行令樹狀陣列的大小為\(2\)的冪。

每次二分邊界\([l,r]\)，中點就是\(mid\)。

然後就會發現，因為樹狀陣列大小是\(2\)的冪，每次二分其實就相當於在判斷二進位制下某一位是否能填作\(1\)。

因此，\(a_{mid}\)的值實際上就等於\(\sum_{k=l}^{mid}val_k\)

唔姆，假設樹狀陣列的\(val_i\)表示等於\(i\)的數的個數，那麼\(a_{mid}\)的值等同於值在\([l,mid]\)範圍內的數的個數。

於是就能輕鬆實現第\(k\)大的詢問了。

模板：普通平衡樹

其實只要能夠求第\(k\)大，平衡樹的其他操作都非常簡單了，前驅/後繼都可以轉化為詢問排名再詢問第\(k\)大的操作。

唯一一個特殊注意點，就是由於這道題中值可能為負，需要把每個數都加上\(10^7\)再操作。

程式碼來源恕不透露，\(class\)封裝，碼風毒瘤（儘管在這道題中體現不多）。

友情提醒：I表示inline，可忽略；RI表示register int，CI表示const int&

什麼？問餘為什麼這麼耐心地解釋，卻不直接在程式碼上修改，或者乾脆重寫一份？

當然是因為嫌麻煩啦！

class TreeArray//樹狀陣列實現平衡樹 
{
	private:
		#define V (1<<25)//V儲存總值域，必須為2的冪 
		#define P 10000000//因為存在負數，所有資料都要加上P
		int a[V+5];I void U(RI x,CI v) {W(x<=V) a[x]+=v,x+=x&-x;}//字尾修改 
		I int Q(RI x,RI t=0) {W(x) t+=a[x],x-=x&-x;return t;}//求字首和（小於等於x的數的個數） 
	public:
		I int Kth(RI k) {RI l=1,r=V,mid;W(l^r) a[mid=l+r>>1]<k?(k-=a[mid],l=mid+1):r=mid;return l-P;}//樹狀陣列上二分詢問第k大
		I void Add(CI x) {U(x+P,1);}I void Del(CI x) {U(x+P,-1);}I int Rk(CI x) {return Q(x+P-1)+1;}//插入；刪除；詢問排名 
		I int Pre(CI x) {return Kth(Q(x+P-1));}I int Nxt(CI x) {return Kth(Q(x+P)+1);}//前驅；後繼 
};
 

[省選聯考 2020 A/B 卷] 冰火戰士

• 有兩個陣列\(Ice_i,Fire_i\)。
• 每次操作修改某個陣列中某個位置上的數。（始終非負）
• 每次操作完求一個最大的整數\(k\)，使得\(\min\{\sum_{i\le k}Ice_i,\sum_{i\ge k}Fire_i\}\)最大，並求出這個最大值。
• 運算元量\(\le2\times 10^6\)

很顯然，\(f(k)=\sum_{i\le k}Ice_i\)隨\(k\)增大遞增，\(g(k)=\sum_{i\ge k}Fire_i\)隨\(k\)增大遞減。

那麼根據初中函式知識就可以知道，要使最小值最大，就是求兩個函式的交點。

題目很簡單，可惜這道題居然卡線段樹！

這時候就要請出樹狀陣列上二分啦！

每次先二分出最大的\(k\)滿足\(f(k)<g(k)\)，由於\(k\)是整數因此不一定能找到交點，還要比較\(f(k)\)與\(g(k+1)\)誰更大。

求出最大值之後，還要再次樹狀陣列上二分求出最大的\(k\)。

大致思路差不多就這樣啦。

\(Postscript\)

樹狀陣列最大的優點就是程式碼短、常數小，因此真的真的是個非常美麗的演算法哦！