揹包問題

我們可以從集合的角度來看待這個問題，主要是如何表示狀態以及進行狀態間的轉移(決策)。

通常可以考慮兩個角度

1. 狀態表示

   1. 集合：當前這個狀態代表的具體的含義
   2. 屬性：它的特點，如最大最小等

2. 狀態計算

   ​ 狀態計算本質是對集合的劃分，再進一步想其實是對於當前這個集合怎麼劃分才能不重不漏(不一定不重，但一定不能遺漏)以便於後面進行集合的決策轉移，也就是劃分成更小的子集使這些子集都可以被計算出來。

優化的根本是有一個東西代表一類東西，而且大部分是在DAG上做遞推，我當前這個狀態如果從所有能夠到他的狀態都列舉決策過，那麼當前這個狀態一定是最優的(最優子結構)，因此對於下一個狀態就不用再從頭開始轉移了，他只會用到一些最優子結構來形成一個新的最優子結構。一般列舉狀態的時候要滿足拓撲序

01揹包

在一些限制下，每個物品最多選一次。

狀態表示 ：f(i,j) ：表示從前i個裡面選體積不超過j的最大價值

狀態計算：可以通過第i個物品選於不選將集合劃分成兩個子集，且不重不漏

轉移：$f(i, j) = max(f(i-1,j),f(i-1,j-v[i]+w[i]))$。

發現當前這個狀態是用到了第$i- 1$層的狀態，如果我們想用滾動陣列將$f$優化到一維，我們可以倒敘列舉$j$，因為只會從他前面更小的$j$，因為是倒敘列舉的所以前面更小的$j$對應的還是第$i-1$層的狀態。

轉移：$f(j) = max(f(j),f(j-v[i] + w[i]))$。

完全揹包

在一些限制下每個物品可以選無數次。

狀態表示：f(i,j): 表示從前i個裡面選體積不超過j的最大價值

狀態計算：可以通過將第i個物品選多少個將集合劃分，且補充不漏

對於第i個物品體積不超過j則有:$f(i,j)=max(f(i-1,j),f(i-1,j-v)+w,f(i-1,j-2v)+2w,...,f(i-1,j-kv)+kw)$

對於第i個物品體積不超過j-1則有:$f(i, j-v)= max(\ \ \ \ f(i-1,j-v)+w,f(i-1,j-2v)+2w,...,f(i-1,j-kv)+kw)$

將下面帶入上面的發現$f(i,j)=max(f(i-1,j),f(i, j - v)+w)$

轉移：$f(i,j)=max(f(i-1,j),f(i, j - v)+w)$

發現當前狀態轉移過來用到的是第$i$層的狀態，因此滾動陣列優化只需要正序列舉體積即可。

轉移：$f(j)=max(f(j),f(j-v)+w)$

多重揹包

在一些限制下每個物品可以選一定的次數。

思路一（暴力）

發現我們多加一維來表示第i個選多少個即可,或者假設某個物品可以選k次那就把它拆成k個一樣的物品即可，時間複雜度為$O(nm)$

核心程式碼

for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 0; j <= m; j ++ )
            for (int k = 0; k <= s[i] && k * v[i] <= j; k ++ )
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i] * k] + w[i] * k);

思路二（二進位制優化）

考慮優化暴力裡的第二個方法，不把k拆成k個1，我們把k轉化成二進位制形式假設為1011,則有$1011=0111+100$,我們可以把它拆成$1,2,4,4$這樣，這樣是可以組合出$0-11$裡的任何一個數的，因為$111$每一位選與不選可以組合出$0-7$中任何一個數，然後對於$100$這個數選與不選相當於讓$0- 7$往後平移$4$,所以可以湊出任何一個數。複雜度降到了$O(mlogn)$

核心轉化程式碼

for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {
        int a, b, s;
        cin >> a >> b >> s;
        int k = 1;
        while (k <= s) {
            cnt ++;
            v[cnt] = k * a;
            w[cnt] = k * b;
            s -= k;
            k <<= 1;    
        }
        if (s > 0) {
            cnt ++;
            v[cnt] = s * a;
            w[cnt] = s * b;
        }
    }

思路三 （單調佇列優化）

分組揹包

在一定限制下每組物品最多選一個。

狀態表示：f(i,j)：從前i組裡選，且體積是j的最大價值

狀態計算：我們可以多加一維迴圈來列舉第i組裡選哪個,這樣就變成了01揹包

轉移：$f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i][k]]+w[i][k]);$

可以像01揹包一樣倒著列舉體積優化掉第一維

轉移：$ f[j] = max(f[j], f[j - v[i][k]] + w[i][k]);$

有依賴的揹包問題

對於一顆樹選擇某個結點就必須選擇他的父節點。

狀態表示：f(i,j)：以i為根的子樹必須選根節點，且體積不超過j的最大價值

狀態計算：對於每個結點$u$來說，先遞迴處理它的子節點當子結點資訊正確後再向父節點進行轉移，將集合劃分成當前結點的這個子節點的體積是多少,可以將每一棵子樹看成一個物品組，就變成了一個分組揹包問題。

核心程式碼：

int dfs(int u) {
   for (int i = v[u]; i <= m; i ++ ) f[u][i] = w[u]; // 因為u必選所以給成立的加上一個u的價值
   for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i] ) {
       int v = e[i]; dfs(v);
       for (int j = m; j >= v[u]; j -- )
        for (int k = 0; k <= j - v[u]; k ++ ) // 留給選根結點的體積，這樣轉移的過程中任意一個f(i,j)中均含有w[u]這個價值，因為向他轉移的那個f(u,j-k)中一個含有w[u]，所以就滿足了依賴性
            f[u][j] = max(f[u][j], f[u][j - k] + f[v][k]); 
   }
}