【考試總結】2022-03-27
博弈論
詐 騙 大 師
嘗試計算每個棋子放在某個點最多能帶來的等著數量，使用 \(\rm DAG\) 上面 \(\rm DP\) 即可實現，注意兩個人都希望在同色聯通塊中走的路徑最長，同時走到臨界點的時候都可以選擇不再繼續移動
剩下的是一個 揹包問題，如果選出的所有石子給 \(A,B\) 帶來的收益滿足 \(A\) 的等著數量大於 \(B\) 就勝利了
Code Display
const int N=310; char s[N]; int dp[N]; int f[2][N*N*2],out[N],n,m,a[N]; vector<int> G[N],revG[N]; signed main(){ freopen("game.in","r",stdin); freopen("game.out","w",stdout); n=read(); m=read(); scanf("%s",s+1); for(int i=1;i<=n;++i) a[i]=s[i]=='W'; for(int i=1;i<=m;++i){ int u=read(),v=read(); G[u].emplace_back(v); revG[v].emplace_back(u); out[u]++; } queue<int> q; for(int i=1;i<=n;++i) if(!out[i]) q.push(i); while(q.size()){ int fr=q.front(); q.pop(); for(auto t:G[fr]){ if(a[fr]==a[t]) ckmax(dp[fr],dp[t]+1); else ckmax(dp[fr],-dp[t]+1); } for(auto t:revG[fr]){ if(!(--out[t])) q.push(t); } } for(int i=1;i<=n;++i) if(!a[i]) dp[i]=-dp[i]; int cur=0; const int U=N*N; f[cur][U]=1; for(int i=1;i<=n;++i){ for(int j=0;j<U*2;++j) if(f[cur][j]){ ckadd(f[cur^1][j+dp[i]],f[cur][j]); ckadd(f[cur^1][j],f[cur][j]); f[cur][j]=0; } cur^=1; } int ans=0; for(int j=U+1;j<U*2;++j) ckadd(ans,f[cur][j]); print(ans); return 0; }
排列
將排列中二元組 \((a,b)\) 視作有向圖上 \(a\to b\) ，那麼題目中的限制相當於排列合法當且僅當其每個區間形成的 \(\rm DAG\) 都具有傳遞性
這裡傳遞性形式化表達為：記 \(S_i\) 表示 \(i\) 在 \(\rm DAG\) 上可以到達的點所構成的集合，對於 \(x\in S_i,S_x\subsetneq S_x\)
其實區間的傳遞性和同時滿足 每個字首具有傳遞性 \(\&\) 每個字尾具有傳遞性 是等價的，使用簡單的反證法可以找到矛盾
由於整個排列構成了一個 \(1\sim n\) 的競賽圖，那麼上述限制等價於某個 \(\rm DAG\) 和它的補圖具有傳遞性
我們發現上述形式的傳遞性和 \((i,p_i)\) 對應的二維偏序是完全等價的，也就是可行的 \(\rm DAG\) 構造是且僅是找到一個排列 \(\rm P\)，找到其中所有 \(i<j,a_i>a_j\) 並連邊 \(a_j\to a_i\)
此時轉化為將 \(\{1,\dots n\}\) 通過 氣泡排序（也就是隻能交換相鄰兩個元素） 變成 \(\{n,\dots 1\}\) 的方案數，可以通過康拓展開給排列標號後進行拓撲排序得到答案
對於題目中涉及的 \(m\) 條限制，每次翻轉相鄰點對時進行合法性判定即可
Code Display
int n,lim; vector<vector<int> > G,perm,pos; vector<pair<int,int> > seq; vector<int> Fac,dp; inline int dfs(int S){ if(~dp[S]) return dp[S]; if(S==Fac[n]) return 1; int sum=0; vector<int> &cur=perm[S]; vector<int> p(n+1); for(int i=1;i<=n;++i) p[cur[i]]=i; for(int i=1;i<n;++i) if(cur[i]<cur[i+1]){ bool leg=1; for(auto t:G[pos[cur[i]][cur[i+1]]]) if(p[seq[t].fir]>p[seq[t].sec]){leg=0; break;} if(!leg) continue; int New_S=S; int o1=0,o2=1; for(int j=i+1;j<=n;++j) o1+=cur[j]<cur[i],o2+=cur[j]<cur[i+1]; New_S+=(o2-o1)*Fac[n-i]-(o2-1-o1)*Fac[n-i-1]; ckadd(sum,dfs(New_S)); } return dp[S]=sum; } signed main(){ freopen("perm.in","r",stdin); freopen("perm.out","w",stdout); n=read(); lim=read(); Fac.resize(n+1); Fac[0]=1; for(int i=1;i<=n;++i) Fac[i]=Fac[i-1]*i; dp.resize(Fac[n]+1); for(int i=1;i<=Fac[n];++i) dp[i]=-1; int m=n*(n-1)/2; pos.resize(n+1); rep(i,1,n) pos[i].resize(n+1); seq.resize(m+1); G.resize(m+1); int num=0; for(int i=1;i<=n;++i) for(int j=i+1;j<=n;++j){ pos[i][j]=++num; seq[num]=make_pair(i,j); } // Label Begins vector<int> id(n+1); for(int i=1;i<=n;++i) id[i]=i; perm.resize(Fac[n]+1); int CNT=0; do perm[++CNT]=id; while(next_permutation(id.begin()+1,id.end())); // Label Finished for(int i=1;i<=lim;++i){ int a=read(),b=read(),c=read(),d=read(); G[pos[a][b]].emplace_back(pos[c][d]); } print(dfs(1)); putchar('\n'); return 0; }
子段和
嘗試計算將最大子段和減少到 \(k\) 的最少操作次數，設為 \(g(k)\)
進行判定時，維護變數 \(\lim\)，初值為 \(k\)，以及字首和陣列 \(s_i\) ：若 \(s_i>lim\) 則將字尾 \(s_i\) 都減小 \(s_i-lim\)；\(\lim\leftarrow \min(\lim,s_i+k)\)
這個過程和下述過程是等價的，仍然維護 \(\lim=k\) 和操作次數計數器 \(cnt=0\) 如果 \(\lim<s_i\) 則 \(cnt\leftarrow s_i-\lim,\lim\leftarrow s_i\) ； \(\lim\leftarrow \min(\lim,s_i+k)\)
正確性相對容易理解
使用二分答案來得到進行不超過 \(K\) 次操作後最大子段和的值域 \([L,R]\) 那麼經過一些和式變換可以發現最終問題就是求最大子段和值域 \([L,R]\) 內所有 \(w\) 的 \(cnt(w)\) 的值，對所有 \(w\) 同時進行上面的過程：
使用動態開點線段樹維護整個過程，每個葉子節點對應一個 \(\lim(w)\) 差為 \(0/1\) 的連續 \(w\)，同時需要維護最大最小值和區間 \(\lim(w)\) 的和
注意這個過程並不需要求出來 \(cnt(w)\) 的具體值，只用計算每次得到的權值對答案的貢獻之和，形式為區間長度乘 \(s_i-\) 區間和
發現在整個過程中 \(\lim(w)\) 滿足隨 \(w\) 遞增而不降同時 \(\lim(w)-w\) 滿足不升，所以對於 ckmin,ckmax 操作可以進行線段樹上二分得到需要修改的區間，那麼線上段樹上新建立一個葉子即可
當然可以直接使用單調棧來代替線段樹
Code Display
inline int qmod(int x){return (x%mod+mod)%mod;}
const int N=2e5+10,M=100*N,Inf=2e13;
inline int S(int l,int r){
int v1=r-l+1,v2=l+r;
if(v1&1) return v2/2%mod*(v1%mod)%mod;
else return v1/2%mod*(v2%mod)%mod;
}
bool k[M];
signed ls[M],rs[M];
int sum[M],L[M],Mn[M],Mx[M],tot,rt;
int a[N],n,K,ans,Wl,Wr;
inline int estab(int sl,int b,int l,int r){
int now=++tot;
k[now]=sl; L[now]=b;
Mn[now]=sl*l+b; Mx[now]=sl*r+b;
sum[now]=k[now]?S(Mn[now],Mx[now]):mul(L[now]%mod,(r-l+1)%mod);
return now;
}
inline void push_up(int p){
L[p]=-Inf-1; k[p]=0;
sum[p]=add(sum[ls[p]],sum[rs[p]]);
Mn[p]=Inf; Mx[p]=-Inf;
if(ls[p]){
ckmax(Mx[p],Mx[ls[p]]);
ckmin(Mn[p],Mn[ls[p]]);
}
if(rs[p]){
ckmax(Mx[p],Mx[rs[p]]);
ckmin(Mn[p],Mn[rs[p]]);
}
return ;
}
inline void make_son(int p,int l,int r){
int mid=(l+r)>>1;
if(!ls[p]) ls[p]=estab(k[p],L[p],l,mid);
if(!rs[p]) rs[p]=estab(k[p],L[p],mid+1,r);
return ;
}
inline int query_leq(int val,int p=rt,int l=Wl,int r=Wr){
if(Mn[p]>val) return l-1;
if(Mx[p]<=val) return r;
if(l==r) return l;
if(!ls[p]){
if(k[p]) return val-L[p];
else return r;
}
int mid=(l+r)>>1;
if(Mx[ls[p]]>=val) return query_leq(val,ls[p],l,mid);
else return query_leq(val,rs[p],mid+1,r);
}
inline int query_sum(int st,int ed,int p=rt,int l=Wl,int r=Wr){
if(st<=l&&r<=ed) return sum[p];
if(!ls[p]){
if(!k[p]) return mul(L[p]%mod,(r-l+1)%mod);
else return S(L[p]+max(st,l),L[p]+min(ed,r));
}
int mid=(l+r)>>1,res=0;
if(st<=mid) ckadd(res,query_sum(st,ed,ls[p],l,mid));
if(ed>mid) ckadd(res,query_sum(st,ed,rs[p],mid+1,r));
return res;
}
inline int query_geq(int val,int p=rt,int l=Wl,int r=Wr){
if(!ls[p]){
if(!k[p]){
if(val+l>L[p]) return l-1;
if(val+r<L[p]) return r;
return L[p]-val;
}else{
if(L[p]<=val) return l-1;
else return r;
}
}
int mid=(l+r)>>1;
if(Mx[ls[p]]<=val+mid) return query_geq(val,ls[p],l,mid);
return query_geq(val,rs[p],mid+1,r);
}
inline void check_min(int st,int ed,int v,int p=rt,int l=Wl,int r=Wr){
if(st<=l&&r<=ed){
L[p]=v; Mn[p]=v+l; Mx[p]=v+r;
sum[p]=S(Mn[p],Mx[p]);
k[p]=!(ls[p]=rs[p]=0);
return ;
}
if(!ls[p]) make_son(p,l,r);
int mid=(l+r)>>1;
if(st<=mid) check_min(st,ed,v,ls[p],l,mid);
if(ed>mid) check_min(st,ed,v,rs[p],mid+1,r);
return push_up(p);
} // v + l
inline void check_max(int st,int ed,int v,int p=rt,int l=Wl,int r=Wr){
if(st<=l&&r<=ed){
L[p]=Mn[p]=Mx[p]=v;
sum[p]=mul(v%mod,(r-l+1)%mod);
k[p]=ls[p]=rs[p]=0;
return ;
}
if(!ls[p]) make_son(p,l,r);
int mid=(l+r)>>1;
if(st<=mid) check_max(st,ed,v,ls[p],l,mid);
if(ed>mid) check_max(st,ed,v,rs[p],mid+1,r);
return push_up(p);
} // v
inline int calc(int w){
int lim=w,Aw=0;
for(int i=1;i<=n;++i){
Aw+=max(0ll,a[i]-lim);
lim=max(lim,a[i]);
ckmin(lim,a[i]+w);
} return Aw;
}
signed main(){
freopen("seg.in","r",stdin); freopen("seg.out","w",stdout);
n=read();
int Mn=0,Mx=0;
rep(i,1,n){
a[i]=read()+a[i-1];
ckmax(Mx,a[i]-Mn);
ckmin(Mn,a[i]);
}
K=read();
int tar=-Inf,wl=-Inf,wr=Mx;
while(wl<=wr){
int mid=(wl+wr)>>1;
if(calc(mid)>K) wl=mid+1;
else wr=mid-1,tar=mid;
}
if(tar==Mx) print(mul(qmod(Mx),K)),exit(0);
ans=qmod(tar)*((K+1)%mod)%mod-Mx;
ans=qmod(ans);
Wr=Mx-1,Wl=tar;
rt=estab(1,0,Wl,Wr);
for(int i=1;i<=n;++i){
int pos=query_leq(a[i]);
if(pos>=Wl) ckdel(ans,query_sum(Wl,pos));
ckadd(ans,mul(a[i]%mod,(pos-Wl+1)%mod));
if(pos>=Wl) check_max(Wl,pos,a[i]);
pos=query_geq(a[i]);
if(pos>=Wl) check_min(Wl,pos,a[i]);
}
print(qmod(ans));
return 0;
}