珂朵莉樹（超詳解！）
緒言：研究珂朵莉樹的原因
總是看到好多大佬在研究這個十分二次元化的東西（對於我這種男性 OIer 是這個感覺），所以想深入瞭解一下。
珂朵莉樹的起源
珂朵莉樹原名老司機樹(Old Driver Tree，ODT)，是一種基於std::set的暴力資料結構，由2017年一場CF比賽中提出的資料結構，因為題目背景主角是《末日時在做什麼？有沒有空？可以來拯救嗎？》的主角珂朵莉，因此該資料結構被稱為珂朵莉樹。
應用
解決各種線段樹無法完成的操作。
注意珂朵莉樹保持複雜度主要依靠assign操作，所以題目中必須有區間賦值。
還有很重要的一點：資料需純隨機。
什麼時候用珂朵莉樹
關鍵操作：推平一段區間，使一整段區間內的東西變得一樣。保證資料隨機。
n個數，m次操作。 $n,m\leq10^5$
操作：
-
區間加
-
區間賦值
-
區間第k小
-
求區間冪次和
-
資料隨機，時限2s。
構造
用一個帶結構體的集合(std::set)維護序列
集合中的每個元素有左端點，右端點，值
下面展示該結構體的構造:
struct Node{ int l, r; mutable int val; Node(int a = -1, int b = -1, int c = 0){ l = a, r = b, val = c; } bool operator < (const Node &a){ return l < a.l; } }; //mutale,意為可變的，即不論在哪裡都是可修改的，用於突破C++帶const函式的限制。
Split
set::iterator split(int pos)
將原來含有pos的區間分為[l,pos)和[pos,r]兩段。
返回一個std::set的迭代器，指向[pos,r]段
可能有些抽象，詳細解如下:
split函式的作用就是查詢set中第一個左端點不小於pos的結點，如果找到的結點的左端點等於pos便直接返回指向該結點的迭代器，如果不是，說明pos包含在前一個結點所表示的區間之間，此時便直接刪除包含pos的結點，然後以pos為分界點，將此結點分裂成兩份，分別插入set中，並返回指向後一個分裂結點的迭代器。
首先我們假設 set 中有三個node結點，這三個結點所表示的區間長度為14 ，如下圖：
不妨以提取區間 [10,12] 為例詳細展開（（躁動的讀者）誒，說好的查詢10到12呢，怎麼下面扯了一堆13？別急，後續將會揭曉 ）：
如果我們要查詢序列第13個位置，首先執行si it = s.lower_bound(node(13)); 此時it將成為一個指向第三個結點的迭代器，為什麼是第三個結點，而不是第二個結點呢，因為lower_bound這個函式獲取的是第一個左端點l不小於13的結點，所以it是指向第三個結點的。
然後執行判斷語句，發現第三個結點的左端點不是13，不滿足條件，說明13必包含在前一個結點中，繼續向下執行，讓it指向前一個結點：
先將該結點的資訊儲存下來：int l = 10, r = 13, val = 2
然後直接刪除該結點
以pos為分界點，將被刪除的結點分裂為 [l,pos-1] ,[pos,r]這兩塊，並返回指向[pos,r]這個區間的迭代器，事實上return s.insert(node(pos,r,val)).first; ，便做到了插入[pos,r]這端區間，並返回指向它的迭代器，有一個insert函式返回值為pair型別，其中pair的第一個元素就是元素插入位置的迭代器。
至此13位置已經分裂完成，然後是查詢第10個位置，查詢步驟同上，但是10號點滿足if語句，便直接返回了
由上述步驟，為了提取區間 [10,12]，我們執行了兩次 split ，一次為split(13),一次為split(10)，並獲得了兩個迭代器，一個指向第二結點，一個指向第三結點。
為什麼要先分裂右端點，然後再分裂左端點呢？
因為如果先分裂左端點，返回的迭代器會位於所對應的區間以 l 為左端點，此時如果r也在這個節點內，就會導致分裂左端點返回的迭代器被 erase 掉，導致 RE
結合問題1和問題2 ，獲取區間迭代器時，務必寫成如下格式 si itr = split(r+1), itl = split(l); 起名無所謂，按自己的習慣就好
程式碼
set<Node>::iterator split(int pos){
set<Node>::iterator it = st.lower_bound(Node(pos));
if (it != st.end() && it->l == pos) return it;
--it; Node tmp = *it; st.erase(it);
st.insert(Node(tmp.l, pos - 1, tmp.val));
return st.insert(Node(pos, tmp.r, tmp.val)).first; //first return iterator
}
Assign
注意:以後在使用split分裂區間的時候，請先右後左
區間賦值操作，也是珂樹維持其複雜度的關鍵函式
很暴力的思想，既然剛剛我們寫了一個split，那麼就要把它用起來。
首先split出l並記返回值為itl，然後split出r+1並記返回值為itr，顯然我們要操作的區間為[itl,itr)，那麼我們將[itl,itr)刪除(std::set.erase(itl, itr))，再插入一個節點Node,其l為l，r為r，val為賦值的val。
我們注意到因為這個操作， [itl,itr)中的所有節點合併為了一個節點，大大降低了集合的元素數量，因此調整了我們的複雜度
void assign(int l, int r, long long val){
set<Node>::iterator itr = split(r + 1), itl = split(l);
st.erase(itl, itr);
st.insert((Node){l, r, val});
}
//將一個區間全部改為某個值。
其他操作
通用方法是split出l，split出r+1，然後直接暴力掃描這段區間內的所有節點執行需要的操作
例如我們的區間和查詢：
long long querySum(int l, int r){
set<Node>::iterator itr = split(r + 1), itl = split(l); long long res = 0;
for (set<Node>::iterator it = itl; it != itr; ++it)
res += (it->r - it->l + 1) * it->val;
return res;
}
例如我們的區間加：
void add(int l, int r, long long val){
set<Node>::iterator itr = split(r + 1), itl = split(l);
for (set<Node>::iterator it = itl; it != itr; ++it)
it->val += val;
}
例如我們的區間第k小：
前置需要
algorithm庫中的std::sort(快速排序)
std::map(方便起見使用其中的pair),std::vector(方便起見)
還是split出l，split出r+1，然後將每個節點的值和個數(即r-l+1)組成一個pair(注意為了排序，將值放在第一關鍵字)，將pair加入一個vector中
將vector排序
從vector的begin開始掃描，不停的使k減去vector當前項的第二關鍵字，若 $k\leq0$，返回當前項的第一關鍵字。
long long queryKth(int l, int r, int k){
vector< pair<int, int> > vec(0);
set<Node>::iterator itr = split(r + 1), itl = split(l);
for (set<Node>::iterator it = itl; it != itr; ++it)
vec.push_back(make_pair(it->val, it->r - it->l + 1));
sort(vec.begin(), vec.end());
for (vector< pair<int, int> >::iterator it = vec.begin(); it != vec.end(); ++it)
if ((k -= it->second) <= 0) return it->first;
return -1; //note:if there are negative numbers, return another impossible number.
}
求區間所有數的x次方的和模y的值
//快速冪取模
ll qpow(ll a,int b,ll m){
ll t = 1ll;
a %= m;
while(b){
if(b&1) t= (t*a)%m;
a = (a*a)%m;
b>>=1;
}
return t;
}
//提取區間，暴力運算
ll query(int l,int r,int x,int y){
si itr=split(r+1),itl=split(l);
ll res(0);
for(si it=itl;it!=itr;++it)
res=(res+(it->r-it->l+1)*qpow(it->val,x,y))%y;
return res;
}
珂朵莉樹程式碼樣例
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <map>
using namespace std;
//build
struct Node{
int l, r;
mutable long long val;
Node(int a = -1, int b = -1, long long c = 0){
l = a, r = b, val = c;
}
bool operator < (const Node &a) const{
return l < a.l;
}
};
set<Node> st;
//modify
set<Node>::iterator split(int pos){
set<Node>::iterator it = st.lower_bound(Node(pos));
if (it != st.end() && it->l == pos) return it;
--it; Node tmp = *it; st.erase(it);
st.insert(Node(tmp.l, pos - 1, tmp.val));
return st.insert(Node(pos, tmp.r, tmp.val)).first; //first return iterator
}
void assign(int l, int r, long long val){
set<Node>::iterator itr = split(r + 1), itl = split(l);
st.erase(itl, itr);
st.insert((Node){l, r, val});
}
void add(int l, int r, long long val){
set<Node>::iterator itr = split(r + 1), itl = split(l);
for (set<Node>::iterator it = itl; it != itr; ++it)
it->val += val;
}
//query
long long querySum(int l, int r){
set<Node>::iterator itr = split(r + 1), itl = split(l); long long res = 0;
for (set<Node>::iterator it = itl; it != itr; ++it)
res += (it->r - it->l + 1) * it->val;
return res;
}
long long queryKth(int l, int r, int k){
vector< pair<long long, int> > vec(0);
set<Node>::iterator itr = split(r + 1), itl = split(l);
for (set<Node>::iterator it = itl; it != itr; ++it)
vec.push_back(make_pair(it->val, it->r - it->l + 1));
sort(vec.begin(), vec.end());
for (vector< pair<long long, int> >::iterator it = vec.begin(); it != vec.end(); ++it)
if ((k -= it->second) <= 0) return it->first;
return -1; //note:if there are negative numbers, return another impossible number.
}
int main(){
return 0;
}
例題詳解CF896C
一說起區間維護問題，我們就能想到線段樹，主席樹，樹狀陣列，Splay，分塊，莫隊等資料結構，但是讀完題目我們發現，第四個操作涉及每個數字的相關操作，上面提到的結構只有莫隊可以做到，但是複雜度太高，我們需要一個更加高效的資料結構 珂朵莉來維護這些操作。
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <map>
using namespace std;
long long read(){
long long x = 0; int zf = 1; char ch = ' ';
while (ch != '-' && (ch < '0' || ch > '9')) ch = getchar();
if (ch == '-') zf = -1, ch = getchar();
while (ch >= '0' && ch <= '9') x = x * 10 + ch - '0', ch = getchar(); return x * zf;
}
namespace Qpow{
long long pow(long long a, long long b, long long mod){
if (!a) return 0;
long long res = 1; a %= mod;
for ( ; b; (a *= a) %= mod, b >>= 1ll)
if (b & 1) (res *= a) %= mod;;
return res;
}
};
//build
struct Node{
int l, r;
mutable long long val;
Node(int a = -1, int b = -1, long long c = 0){
l = a, r = b, val = c;
}
bool operator < (const Node &a) const{
return l < a.l;
}
};
set<Node> st;
//modify
set<Node>::iterator split(int pos){
set<Node>::iterator it = st.lower_bound(Node(pos));
if (it != st.end() && it->l == pos) return it;
--it; Node tmp = *it; st.erase(it);
st.insert(Node(tmp.l, pos - 1, tmp.val));
return st.insert(Node(pos, tmp.r, tmp.val)).first; //first return iterator
}
void assign(int l, int r, long long val){
set<Node>::iterator itr = split(r + 1), itl = split(l);
st.erase(itl, itr);
st.insert((Node){l, r, val});
}
void add(int l, int r, long long val){
set<Node>::iterator itr = split(r + 1), itl = split(l);
for (set<Node>::iterator it = itl; it != itr; ++it)
it->val += val;
}
//query
long long querySum(int l, int r){
set<Node>::iterator itr = split(r + 1), itl = split(l); long long res = 0;
for (set<Node>::iterator it = itl; it != itr; ++it)
res += (it->r - it->l + 1) * it->val;
return res;
}
long long querySumWithPow(int l, int r, long long x, long long mod){
set<Node>::iterator itr = split(r + 1), itl = split(l); long long res = 0;
for (set<Node>::iterator it = itl; it != itr; ++it)
(res += (it->r - it->l + 1) * Qpow::pow(it->val, x, mod)) %= mod;
return res;
}
long long queryKth(int l, int r, int k){
vector< pair<long long, int> > vec(0);
set<Node>::iterator itr = split(r + 1), itl = split(l);
for (set<Node>::iterator it = itl; it != itr; ++it)
vec.push_back(make_pair(it->val, it->r - it->l + 1));
sort(vec.begin(), vec.end());
for (vector< pair<long long, int> >::iterator it = vec.begin(); it != vec.end(); ++it)
if ((k -= it->second) <= 0) return it->first;
return -1; //note:if there are negative numbers, return another impossible number.
}
long long seed;
long long a[100005];
inline long long rnd(){
long long ret = seed; seed = (seed * 7 + 13) % 1000000007;
return ret;
}
int main(){
int n = read(), m = read(); seed = read(); long long vmax = read();
for (int i = 1; i <= n; ++i){
a[i] = (rnd() % vmax) + 1;
st.insert((Node){i, i, a[i]});
}
long long x, y;
for (int i = 1; i <= m; ++i){
int op = (rnd() % 4) + 1, l = (rnd() % n) + 1, r = (rnd() % n) + 1;
if (l > r){int tmp = l; l = r, r = tmp;}
if (op == 3)
x = (rnd() % (r - l + 1)) + 1;
else
x = (rnd() % vmax) + 1;
if (op == 4)
y = (rnd() % vmax) + 1;
if (op == 1) add(l, r, x);
else if (op == 2) assign(l, r, x);
else if (op == 3) printf("%I64d\n", queryKth(l, r, x));
else if (op == 4) printf("%I64d\n", querySumWithPow(l, r, x, y));
}
return 0;
}