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斜率優化模板題，機房特權啊啊啊！

寫方程：

\[f_x=\min\limits_{i=0}^{x-1}\{f_i+s\times(sc_m-sc_i)+st_x\times(sc_z-sc_i)\} \]

去掉大括號和min：

\[f_x=f_i+s\times(sc_m-sc_i)+st_x\times(sc_z-sc_i) \]

拆開&移項：

\[f_j=(s+st_i)sc_j+f_i+s\times sc_m+st_i\times sc_i \]

標註一下：

\[\begin{matrix}\underbrace{f_j}\\y\end{matrix}=\begin{matrix}\underbrace{(s+st_i)}\\k\end{matrix}\begin{matrix}\underbrace{sc_j}\\x\end{matrix}\begin{matrix}\underbrace{+f_i+s\times sc_m+st_i\times sc_i}\\b\end{matrix} \]

tmd公式打得只有那麼費勁了。於是我們發現上述式子的k是確定的，又因為b為\(f_i\)

加上一個定值，所以我們期望的是讓b，也就是截距最小。暫且把b看成未知量，於是可以發現這個式子相當於是過已知點\((x,y)\)作斜率為\(k\)的直線會得到一個截距，求眾多點中哪一個會截出最小的截距。到這一步我就大概搞懂了斜率優化為何物了。

然後就是老生常談了。我的做法是維護一個存放了眾多點的佇列，佇列整體上維護的是一個下凸殼（畢竟只有下凸殼上的點可能成為決策點）。觀察資料發現由於\(t_i\)可能為負數，也就是說\(s+st_i\)並不是單調遞增，那麼選擇決策點時需要在凸殼中進行二分查詢。但由於\(sc_i\)是單調不減的，說明凸殼只會在最右邊插入點，便不需要平衡樹進行維護了。

最後說一句，判斜率大小要用乘法而且維護凸殼進佇列時判斷要取等。

#include<cstdio>
#include<cstring>
//#define zczc
#define int long long
const int N=300010;
inline void read(int &wh){
    wh=0;int f=1;char w=getchar();
    while(w<'0'||w>'9'){if(w=='-')f=-1;w=getchar();}
    while(w<='9'&&w>='0'){wh=wh*10+w-'0';w=getchar();}
    wh*=f;return;
}

int m,n,in,sc[N],st[N],f[N],cnt=1,pl;
void cost(int x,int y){
	int now=f[x]+n*(sc[m]-sc[x])+st[y]*(sc[y]-sc[x]);
	if(now<f[y])f[y]=now;return;
}
struct node{int id,x,y;}s[N];
inline bool cmp(node s0,node s1,node s2){
	return (s1.y-s0.y)*(s2.x-s1.x)>=(s1.x-s0.x)*(s2.y-s1.y);
}

signed main(){
	
	#ifdef zczc
	freopen("in.txt","r",stdin);
	#endif
	
	read(m);read(n);memset(f,0x3f,sizeof(f));f[0]=0;
	for(int i=1;i<=m;i++)read(in),st[i]=st[i-1]+in,read(in),sc[i]=sc[i-1]+in;
	s[cnt].id=0,s[cnt].x=0,s[cnt].y=0;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		if(cnt<=3)for(int j=1;j<=cnt;j++)cost(s[j].id,i);
		else{
			int l=1,r=cnt-1,mid,nk=n+st[i];
			while(l<r){
				mid=l+r>>1;
				if(s[mid+1].y-s[mid].y>=nk*(s[mid+1].x-s[mid].x))r=mid;
				else l=mid+1;
			}
			if(l>1)cost(s[l-1].id,i);cost(s[l].id,i);if(l<cnt)cost(s[l+1].id,i);
		}
		node now=(node){i,sc[i],f[i]};
		while(cnt>1&&cmp(s[cnt-1],s[cnt],now))cnt--;s[++cnt]=now;
	}
	printf("%lld",f[m]);
	
	return 0;
}
 

一如既往，萬事勝意