整除分塊（數論分塊）的詳細解釋和證明以及幾道練習題

整除分塊（數論分塊）

介紹

在求解問題

\[\sum_{i=1}^n\lfloor\frac ni\rfloor \]

時，若 \(n\) 的範圍很大那麼 \(\Theta(n)\) 求解將會超時，我們需要一種更高效的方法來計算，整除分塊就是這樣一種方法

不難發現，在 \(i\) 取某些值的時候 \(\lfloor\frac ni\rfloor\) 的值都是相同的，考慮將 \(\lfloor\frac ni\rfloor\) 的值相同的 \(i\) 一起計算，減少計算次數

那麼此時我們需要計算多少次呢？

當 \(i\le\sqrt n\) 時顯然 \(\lfloor\frac ni\rfloor\)

的取值只有 \(\sqrt n\) 種可能，而當 \(i>\sqrt n\) 時有 \(\frac ni<\sqrt n\) ，所以 \(\lfloor\frac ni\rfloor\) 的取值同樣只有 \(\sqrt n\) 種可能，也就是說 \(\lfloor\frac ni\rfloor\) 的取值只有 \(2\sqrt n\) 種可能，對於同樣的取值只用計算一次，總的時間複雜度也就是 \(\Theta(\sqrt n)\)

下面來說具體怎麼做

畫出 \(\lfloor\frac ni\rfloor\) 的影象不難發現，所有取值相同的 \(i\) 都是連續的整塊的，這也是這個演算法叫做整除分塊的原因，對於每一塊我們想要通過給出這一塊的左端點，\(\Theta(1)\)

計算出這一塊的右端點，這樣才能保證複雜度

假設現在我們的左端點是 \(l\)，那麼設 \(\lfloor\frac nl\rfloor=k\)，我們要求右端點也就是最大的 \(r=l+d\) 使得 \(\lfloor\frac n{l+d}\rfloor=\lfloor\frac nl\rfloor=k\)

把 \(\lfloor\frac nl\rfloor\) 和 \(\lfloor\frac n{l+d}\rfloor\) 展開得 \(n=kl+p\) 和 \(n=k(l+d)+p'\)，其中 \(1\le p<l\)

那麼 \(kl+p=k(l+d)+p'\) 所以 \(p'=p-kd\)

，因為 \(p'\ge0\)，所以 \(kd\le p\)，所以 \(d\le\frac pk\)，又因為 \(d\) 為整數，所以 \(d\) 最大能取 \(\lfloor\frac pk\rfloor\)，其中 \(p=n\bmod l=n-l\lfloor\frac nl\rfloor\)，\(k=\lfloor\frac nl\rfloor\)

所以我們有

\[\begin{align*} r&=l+d_\max\\ &=l+\lfloor\frac pk\rfloor\\ &=l+\lfloor\frac{n-l\lfloor\frac nl\rfloor}{\lfloor\frac nl\rfloor}\rfloor\\ &=l+\lfloor\frac n{\lfloor\frac nl\rfloor}-l\rfloor\\ &=\lfloor\frac n{\lfloor\frac nl\rfloor}\rfloor \end{align*} \]

也就是說，對於每一個左端點為 \(l\) 的塊，它的右端點為 \(\lfloor\frac n{\lfloor\frac nl\rfloor}\rfloor\)

求 \(\sum\limits_{i=1}^n\lfloor\frac ni\rfloor\) 我們從左端點 \(l\) 為 \(1\) 開始列舉，每次右端點 \(r\) 取 \(\min(n,\lfloor\frac n{\lfloor\frac nl\rfloor}\rfloor)\)，將答案累加上 \((l-r+1)\lfloor\frac nl\rfloor\)，然後令 \(l=r+1\) 不斷迴圈，當右端點等於 \(n\) 時停止迴圈

練習

練習一

Luogu P3935 Calculating

題目大意

給定 \(n\) 求 \(\sum\limits_{i=1}^nd(i)\)，其中 \(d(i)\) 表示 \(i\) 的約數個數

題解

\(1\) 到 \(n\) 的約數顯然只能也在 \(1\) 到 \(n\) 內，那麼考慮換一種方式表達 \(\sum\limits_{i=1}^nd(i)\)，列舉 \(1\) 到 \(n\) 的所有數，看列舉的數屬於多少個數的約數，假設當前列舉到數字 \(k\) 那麼在 \(1\) 到 \(n\) 內 \(k\) 屬於多少個數的約數，那麼也就是在問在 \(1\) 到 \(n\) 內 \(k\) 的倍數有多少個，顯然有 \(\lfloor\frac nk\rfloor\) 個，題目也就轉換為了求解 \(\sum\limits_{i=1}^n\lfloor\frac ni\rfloor\)，整除分塊即可

練習二

P2261 [CQOI2007]餘數求和

題目大意

給定 \(n,k\)，求 \(\sum\limits_{i=1}^nk\bmod i\)

題解

\(k\bmod i\) 可以寫作 \(k-i\lfloor\frac ki\rfloor\)，原式即變為 \(\sum\limits_{i=1}^nk-i\lfloor\frac ki\rfloor=kn-\sum\limits_{i=1}^ni\lfloor\frac ki\rfloor\)，考慮對於 \(\sum\limits_{i=1}^ni\lfloor\frac ki\rfloor\) 使用整除分塊，對於值相同的 \(\lfloor\frac ki\rfloor\)，利用等差數列求和公式算出 \(i\) 的區間和，再乘以 \(\lfloor\frac ki\rfloor\) 就可以 \(\Theta(1)\) 累加進答案

再看整除分塊時 \(n,k\) 的上界問題，當 \(n\ge k\) 時 \(i>k\) 的部分貢獻均為 \(0\)，所以我們忽略 \(n\) 比 \(k\) 大的部分，直接以 \(k\) 為上界計算 \(\sum\limits_{i=1}^k\lfloor\frac ki\rfloor\) 即可；當 \(n<k\) 時每次右端點變為 \(\min(n,\lfloor\frac k{\lfloor\frac kl\rfloor}\rfloor)\)，右端點到 \(n\) 時停止

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