要說馬拉車演算法，必須說說這道題，查詢最長迴文子串，馬拉車演算法是其中一種解法，狠人話不多，直接往下看：

題目描述

給你一個字串 s，找到 s 中最長的迴文子串。

例子

示例 1：
輸入：s = "babad"
輸出："bab"
解釋："aba" 同樣是符合題意的答案。

示例 2：
輸入：s = "cbbd"
輸出："bb"

示例 3：
輸入：s = "a"
輸出："a"

示例 4：
輸入：s = "ac"
輸出："a"

馬拉車演算法

這是一個奇妙的演算法，是1957年一個叫Manacher的人發明的，所以叫Manacher‘s Algorithm,主要是用來查詢一個字串的最長迴文子串，這個演算法最大的貢獻是將時間複雜度提升到線性，前面我們說的動態規劃的時間複雜度為 O(n²

前面說的中心拓展法，中心可能是字元也可能是字元的間隙，這樣如果有 n 個字元，就有 n+n+1 箇中心：

為了解決上面說的中心可能是間隙的問題，我們往每個字元間隙插入”#“,為了讓拓展結束邊界更加清晰，左邊的邊界插入”^“,右邊的邊界插入 "$":

S 表示插入"#","^","$"等符號之後的字串，我們用一個數組P表示S中每一個字元能夠往兩邊拓展的長度:

比如 P[8] = 3，表示可以往兩邊分別拓展3個字元,也就是迴文串的長度為 3，去掉 # 之後的字串為aca：

P[11]= 4，表示可以往兩邊分別拓展4個字元，也就是迴文串的長度為 4，去掉 # 之後的字串為caac：

假設我們已經得知陣列P，那麼我們怎麼得到迴文串？

用 P 的下標 index ，減去 P[i]（也就是迴文串的長度），可以得到迴文串開頭字元在拓展後的字串 S 中的下標，除以2，就可以得到在原字串中的下標了。

那麼現在的問題是：如何求解陣列P[i]

其實,馬拉車演算法的關鍵是：它充分利用了迴文串的對稱性，用已有的結果來幫助計算後續的結果。

假設已經計算出字元索引位置 P 的最大回文串，左邊界是P_L，右邊界是P_R：

那麼當我們求因為一個位置 i 的時候，i 小於等於 P_R,其實我們可以找到 i 關於 P 的對稱點 j:

那麼假設 j 為中心的最長迴文串長度為 len，並且在 P_L 到 P 的範圍內，則 i 為中心的最長迴文串也是如此：

以 i 為中心的最長迴文子串長度等於以 j 為中心的最長迴文子串的長度

但是這裡有兩個問題：

• 前一個迴文字串P，是哪一個？
• 有哪些特殊情況？特殊情況怎麼處理？

(1) 前一個迴文字串 P，是指的前面計算出來的右邊界最靠右的迴文串，因為這樣它最可能覆蓋我們現在要計算的 i 為中心的索引，可以儘量重用之前的結果的對稱性。

也正因為如此，我們在計算的時候，需要不斷儲存更新 P 的中心和右邊界，用於每一次計算。

(2) 特殊情況其實就是當前 i 的最長迴文字串計算不能再利用 P 點的對稱，例如：

1. 以 i 的迴文串的右邊界超出了 P 的右邊界 P_R:

這種情況的解決方案是：超過的部分，需要按照中心拓展法來一一拓展。

2. i 不在 以 P 為中心的迴文串裡面，只能按照中心拓展法來處理。

具體的程式碼實現如下：

    // 構造字串
    public String preProcess(String s) {
        int n = s.length();
        if (n == 0) {
            return "^$";
        }
        String ret = "^";
        for (int i = 0; i < n; i++)
            ret = ret + "#" + s.charAt(i);
        ret = ret + "#$";
        return ret;
    }

    // 馬拉車演算法
    public String longestPalindrome(String str) {
        String S = preProcess(str);
        int n = S.length();
        // 儲存迴文串的長度
        int[] P = new int[n];
        // 儲存邊界最右的迴文中心以及右邊界
        int center = 0, right = 0;
        // 從第 1 個字元開始
        for (int i = 1; i < n - 1; i++) {
            // 找出i關於前面中心的對稱
            int mirror = 2 * center - i;
            if (right > i) {
                // i 在右邊界的範圍內，看看i的對稱點的迴文串長度，以及i到右邊界的長度，取兩個較小的那個
                // 不能溢位之前的邊界，否則就得中心拓展
                P[i] = Math.min(right - i, P[mirror]);
            } else {
                // 超過範圍了，中心拓展
                P[i] = 0;
            }

            // 中心拓展
            while (S.charAt(i + 1 + P[i]) == S.charAt(i - 1 - P[i])) {
                P[i]++;
            }

            // 看看新的索引是不是比之前儲存的最右邊界的迴文串還要靠右
            if (i + P[i] > right) {
                // 更新中心
                center = i;
                // 更新右邊界
                right = i + P[i];
            }

        }

        // 通過迴文長度陣列找出最長的迴文串
        int maxLen = 0;
        int centerIndex = 0;
        for (int i = 1; i < n - 1; i++) {
            if (P[i] > maxLen) {
                maxLen = P[i];
                centerIndex = i;
            }
        }
        int start = (centerIndex - maxLen) / 2;
        return str.substring(start, start + maxLen);
    }

至於演算法的複雜度，空間複雜度藉助了大小為n的陣列，為O(n)，而時間複雜度，看似是用了兩層迴圈，實則不是 O(n²)，而是 O(n)，因為絕大多數索引位置會直接利用前面的結果以及對稱性獲得結果，常數次就可以得到結果，而那些需要中心拓展的，是因為超出前面結果覆蓋的範圍，才需要拓展，拓展所得的結果，有利於下一個索引位置的計算，因此拓展實際上較少。

【作者簡介】：
秦懷，公眾號【秦懷雜貨店】作者，技術之路不在一時，山高水長，縱使緩慢，馳而不息。個人寫作方向：Java原始碼解析，JDBC，Mybatis，Spring，redis，分散式，劍指Offer，LeetCode等，認真寫好每一篇文章，不喜歡標題黨，不喜歡花裡胡哨，大多寫系列文章，不能保證我寫的都完全正確，但是我保證所寫的均經過實踐或者查詢資料。遺漏或者錯誤之處，還望指正。

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