正題

題目連結:https://www.luogu.com.cn/problem/CF1556F

題目大意

\(n\)個點的一張競賽圖，每個點有一個權值\(a_i\)，\((i,j)\)之間的邊\(i\)連\(j\)的概率是\(\frac{a_i}{a_i+a_j}\)，否則\(j\)連\(i\)。

現在期望有多少個點能走到全圖的任意一個點。

\(1\leq n\leq 14,1\leq a_i\leq 10^6\)

解題思路

考慮狀壓\(dp\)，首先列舉起點\(p\)，設\(f_{S}\)表示目前只考慮了點集\(S\)且\(p\)都能到達。

那麼對於點集\(S\)是任意一張圖的概率是\(1\)，然後考慮列舉一個\(p\)

考慮如何預處理\(g_{S,T}\)，不難發現因為\(S\cap T=\varnothing\)所以這個狀態數是\(3^n\)的我們可以用三進位制狀壓，不過得先預處理\(r_{p,S}\)表示\(p\)與集合\(S\)

時間複雜度：\(O(3^nn+2^nn^2)\)

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=14,M=2e6+10,P=1e9+7;
ll n,ans,inv[M],pw[N+1],a[N],r[N][1<<N],tr[1<<N],f[1<<N],g[4782969];
signed main()
{
	inv[1]=1;
	for(ll i=2;i<M;i++)inv[i]=P-(P/i)*inv[P%i]%P;
	scanf("%lld",&n);
	for(ll i=0;i<n;i++)
		scanf("%lld",&a[i]);
	ll MS=(1<<n);
	for(ll p=0;p<n;p++){
		r[p][0]=1;
		for(ll s=0;s<MS;s++){
			if((s>>p)&1)continue;
			for(ll i=0;i<n;i++)
				if((s>>i)&1){r[p][s]=r[p][s^(1<<i)]*a[p]%P*inv[a[p]+a[i]]%P;break;}
		}
	}
	pw[0]=1;for(ll i=1;i<=n;i++)pw[i]=pw[i-1]*3;
	for(ll s=1;s<MS;s++)
		for(ll i=0;i<n;i++)
			if((s>>i)&1)tr[s]=tr[s^(1<<i)]+pw[i];
	for(ll s=0;s<pw[n];s++)g[s]=1;
	for(ll s=0;s<MS;s++)
		for(ll i=0;i<n;i++){
			if(!((s>>i)&1))continue;
			for(ll t=s;t;t=(t-1)&s){
				if((t>>i)&1)continue;
				(g[tr[s]+tr[t]]*=r[i][t])%=P;
			}
		}
	for(ll p=0;p<n;p++){
		memset(f,0,sizeof(f));
		for(ll s=0;s<MS;s++){
			if(!((s>>p)&1))continue;f[s]=1;
			for(ll t=(s-1)&s;t;t=(t-1)&s){
				if(!((t>>p)&1))continue;
				(f[s]+=P-f[t]*g[tr[s]+tr[t]]%P)%=P;
			}
		}
		(ans+=f[MS-1])%=P;
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}