Able was I ere I saw Elba. ----Napoléon Bonaparte(拿破崙)

一、迴文串&迴文子串

　這個很好理解。

　　如果一個字串正著讀和反著讀是一樣的，那它就是迴文串。 eg. abba ；

　　如果一個字串 S 的子串 SS 為迴文串，那麼 SS 即為 S 的迴文子串；若 SSS 為 S 的迴文子串中最長的一個，那麼我們稱 SSS 為 S 的最長迴文子串。

二、Manacher演算法

　　如何找到一個字串的最長迴文子串呢？

　　我們很容易想到一個 O(n²) 的方法，即：從每個字元開始向兩邊爆搜。但顯然，這個方法效率太低下了。

　　如何快速求出答案，這就是 Manacher演算法的事了。

　　Ⅰ. 奇迴文&偶迴文

　　　　字面意思，不再贅述。

　　　　如果同時存在奇迴文和偶迴文，那麼處理起來會比較的繁瑣，下面就是Manacher 一個很巧妙的方法了：在字串收尾，即各字元間插入一個特殊的字元（指沒有出現過的字元），例如：

aba  ----> #a#b#a#
abba ----> #a#b#b#a#

　　　　這樣，所有的迴文串就都成奇迴文了。

inline int Pre()
{
    S[0]='@',S[1]='#';
    int j(1);
    for(register int i=0,len=IP.size();i<len;++i) S[++j]=IP[i],S[++j]='
 
#';
    S[++j]='\0';return j;
}

　　Ⅱ. 最長迴文半徑

　　　　令一個迴文串中最左或最右位置的字元與其對稱軸的距離稱為 " 迴文半徑 "，令 R [ i ] 表示字元 i 的最長迴文半徑。

　　　　顯然，R [ i ] - 1 即為以 i 為中心的最長迴文子串的長度。

　　　　那麼，我們要求的最長迴文子串，就成了 max { R [ i ] - 1 } 。

　　　　如何快速求出 R [ ] ？？？

　　Ⅲ.Manacher

　　　　從左往右依次討論。

　　　　設 Max 為已討論的子串中能達到的右端最大位置，P 為提供當前 Max 的字元位置。如下表：

　　　　接下來討論的位置 i 可以分為兩種情況：小於等於 Max ，大於 Max：

　　　　　　1. 小於等於 Max :

　　　　　　由於 i 和 j 對稱 ，所以求出 i 的對稱點 j ，簡直是 "輕易而舉" 。

　　　　　　不難發現現在有可以分為兩種情況討論：

　　　　　　　　　( 1 ) .以 j 為對稱軸的迴文串比較短：那麼可以直接令 R [ i ] = R [ j ] ；

　　　　　　　　 ( 2 ) .以 j 為對稱軸的迴文串比較長：此時，我們只能確定不超過 Max 的部分的情況，對於 Max 以外的，我們需要以 i 為中心開始往兩側拓展，直到兩側不同，同時更新 p 和 Max。

　　　　　　　2. 大於 Max : 這種情況很好處理，直接拓展就可以了（當然，要同時更新 p 和 Max）

　　Ⅳ. 程式碼

#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
char S[50000005];
int m,R[50000005];
string IP;
inline int Pre()
{
    S[0]='@',S[1]='#';
    int j(1);
    for(register int i=0,len=IP.size();i<len;++i) S[++j]=IP[i],S[++j]='#';
    S[++j]='\0';return j;
}
inline int Manacher()
{
    m=Pre();
    int RET(-1),x(0),Max(0);
    for(register int i=1;i<m;++i)
    {
        if(i<Max) R[i]=min(R[2*x-i],Max-i+1);
        else R[i]=1;
        while(S[i-R[i]]==S[i+R[i]]) ++R[i];
        if(Max<i+R[i]-1) x=i,Max=i+R[i]-1;
        RET=max(RET,R[i]-1);
    }
    return RET;
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>IP,cout<<Manacher();
    return 0;
}

　　Ⅴ. 時間複雜度

　　　　由於Max是不斷向右拓展的，最多拓展 n 次，不難得出 馬拉車 的時間複雜度是線性的，即 O( n )。