P3166 數三角形

過的第一篇紫題，特此發一篇部落格慶祝一下

思路

obviously，總體思路大概為這樣的：【三角形數量】等於【任選三個點的方案數】減去【三點共線方案數】

因為是一個N·M的方格，所以共有（n+1）·（m+1）的點，那麼由組合數可得【三個點的方案數】為$C_{(n+1)(m+1)}^3$

so現在我們只需要知道三點共線的方案數即可

【三點共線的方案數】等於【橫著的】加上【豎著的】加上【斜著的】

接下來我們就要分類討論了：

【橫著的】：

指三點所在直線平行於 x 軸。共有 m+1 條橫線，每條橫線上有 n+1 個點，從這 n+1 個點中選取 3 個，方案數為 （m+1）$C_{n+1}^3$

那麼同理，【豎著的】指三點所在直線平行於 y 軸，方案數為（n+1）$C_{m+1}^3$

最難的是【斜著的】，斜著的直線按斜率正負分為兩種，並且這兩種方案數是相等（obviously）所以，我們只需要計算出斜率為正的方案數，再乘2就完了（好像很簡單）

方便起見，我們將斜率為正的方案數記為ans

解決

通過觀察可以發現一個小小的結論：

假設網格中AB平行於底邊x軸，長度為i，BC平行於側邊y軸，長度為j，那麼AC上的整點數為gcd(i , j) + 1（這個很好發現）

那麼我們就可以列舉兩點橫座標差 i，縱座標差 j，則兩點連線上的整點數量為 gcd(i , j) + 1不算兩端點自身的話有 gcd(i , j) − 1 個）

對於每組橫座標差 i，縱座標差 j 的點對，我們先選取兩端點，再在他倆之間的 gcd(i , j) - 1 個點中任選一個作為第三個點，方案數為 gcd(i , j) - 1

每組點對可以有 gcd(i , j) - 1 種方案，像這樣橫座標差 i，縱座標差 j 的點對共有 (n - i + 1)(m - j + 1) 個，故可以列舉 i , j 計算：$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m$(n - i + 1)(m - j + 1)(gcd(i , j) - 1 )

當然，直接計算這個式子時間複雜度為O(nm)=O($n^2$),考慮gcd的話甚至是O($n^2\log n$）(但是對於這題還是綽綽有餘的，畢竟資料太水了

****看了題解後發現竟然還有O(n)的方法，不過本人太菜了，沒有看懂（蒟蒻）