時間複雜度是衡量演算法好壞的一個重要指標。 衡量程式碼好壞，包括兩個非常重要的指標： 1、執行時間； 2、佔用空間； 由於執行環境和輸入規模的影響，程式碼的絕對執行時間是無法評估的，但我們卻可以預估程式碼基本操作執行次數。 基本操作次數 場景一：一條長10寸的麵包，每3天吃掉1寸，那麼吃掉整個麵包需要幾天？ 答案是3 * 10 = 30天。如果麵包的長度是N寸呢？此時吃掉整個麵包，需要3 * n = 3n。如果用一個函式來表達這個相對時間，可以記作T（n） = 3n。 執行次數是線性的。 場景二：一條長16寸的麵包，每5天吃掉剩餘麵包剩餘長度的一半，第一次吃掉8寸，第二次吃掉4寸，第三次吃掉2寸…….那麼把麵包吃得只剩1寸，需要多少天？ 這個問題翻譯一下，就是數字16不斷地除以2，除第幾次以後的結果等於1？這裡涉及到數字當中對數，以2為底，16的對數，可以簡寫log16。因此，把麵包吃得只剩1寸，需要5 * log16 = 5 * 4 = 20天。如果麵包的長度是N寸呢？需要5 * logn = 5logn，記作T（n） = 5logn。 執行次數是對數的。 場景三：一條長10寸的麵包和一個雞腿，每2天吃掉一個雞腿。那麼吃掉整個雞腿需要多少天呢？ 答案自然是2天。因為吃說吃掉雞腿，和10寸的麵包沒有關係。如果麵包的長度是N寸呢？無論麵包有多長，吃掉雞腿的時間仍然是2天，記作T（n） = 2。 執行次數是常量的。 場景四：一條10寸的麵包，吃掉第一個1寸需要1天時間，吃掉第二個1寸需要2天時間，吃掉第三個1寸需要3天時間……每多吃一寸，所花的時間也多1天，那麼吃掉整個麵包需要多少天呢？ 答案是從1累加到10的總和，也就是55天。如果麵包的長度是N呢？此時吃掉整個麵包，需要1+2+3+….+n-1+n = (1+2)*n/2 = 0.5n^2 + 0.5n，記作T（n） = 0.5n^2 + 0.5n。 執行次數是一個多項式 漸進時間複雜度 有了基本操作的執行次數函式T（n），是否就可以分析和比較一段程式碼的執行時間了呢？還是有一定困難的。 比如演算法A的相對時間是T（n） = 100n，演算法B的相對時間是T（n） = 5n^2，這兩個到底誰執行時間更長一些？這就要看n的取值了。 所以，這個時候有了漸進時間複雜度的概念，官方的定義如下： 若存在函式f（n），使得當n趨近於無窮大時，T（n） / f（n）的極限值為不等於0的常數，則稱f（n）是T（n）的同數量級函式。 記作T（n） = O（f（n）），稱O（f（n））為演算法的漸進時間複雜度，簡稱時間複雜度。 漸進時間複雜度用大寫O來表示，所以也被稱為大O表示法。 如何推匯出時間複雜度呢？有如下幾個原則： 1、如果執行時間是常數量級，用常數1表示； 2、只保留時間函式中的最高階項； 3、如果最高階項存在，則省去最高階項前面的係數； 場景一：T（n） = 3n，最高階項為3n，省去係數3，轉化的時間複雜度為：T（n） = O（n）。 場景二：T（n） = 5logn，最高階項為5logn，省去係數5，轉化為時間複雜度為：T（n） = O（logn）。 場景三：T（n） = 2，只有常數量級，轉化為時間複雜度為：T（n） = O（1）。 場景四：T（n） = 0.5n^2 + 0.5n，最高階項為0.5n^2，省去係數0.5，轉化為時間複雜度為：T（n） = O（n^2）。 這四種時間複雜度究竟誰用時更長，誰更省時間呢？稍微思考一下就可以得出結論： O（1）< O（logn）< O（n） < O（n^2） 現在計算機硬體效能越來越強，為什麼還重視時間複雜度呢？ 我們來舉個例子： 1、演算法A的相對時間規模是T（n） = 100n，時間複雜度是O（n）； 2、演算法B的相對時間規模是T（n） = 5n^2，時間複雜度是O（n^2）； 演算法A執行在家裡的老舊電腦上，演算法B執行在某臺超級計算機上，執行速度是老舊電腦的100倍。 那麼，隨著輸入規模n的增長，兩種演算法誰執行更快呢？ 從表格中可以看出，當n的值很小的時候，演算法A的執行用時要遠大於演算法B；當n的值達到1000左右，演算法A和演算法B的執行時間已經很接近；當n的值越來越大，達到十萬、百萬時，演算法A的優勢開始顯現，演算法B則越累越慢，差距越來越明顯。