技術標籤：最大團問題分支限界法

最近注意到了圖論中的最大團問題。最大團問題是一個 NP 完全問題，在此對它做簡單介紹，並介紹具有代表性的 Bron-Kerbsch 演算法。

什麼是一個團？

最大團問題首先一個圖的問題，假設讀者已經知道圖的概念。

假設一個無向圖

，一個 團是圖 的子圖，該子圖中的所有頂點之間都有邊將它們相連。

極大團指的是，該團不包含於圖

的任何其他團，即不是任何其他團的真子集。

最大團指的是結點數量最多的極大團。

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最大團問題的 Bron-Kerbosch 演算法

對於一個無向圖，找到其最大團是 NP 完全問題。本文介紹最大團問題的 Bron-Kerbosch 演算法。

Bron–Kerbosch 演算法是由荷蘭科學家 Coenraad Bron 和 Joep Kerbosch 設計的，他們於1973年發表了論文《Algorithm 457: finding all cliques of an undirected graph》。理論上，在輸入更少的最大獨立子集時，演算法執行時間最短。Bron–Kerbosch 演算法和後續演算法通常被認為在實踐中比其他演算法更加有效。

Akkoyunlu（1973）在同時代提出的演算法雖然用不同的術語表示，但由於它生成相同的遞迴搜尋樹，因此可以看作與 Bron-Kerbosch 演算法相同。

無樞軸演算法

Bron–Kerbosch 演算法的基本形式是一種遞歸回溯演算法，用於搜尋給定圖

的所有極大團。

總體上，給定三個不相交的頂點集

，它找到包含 中的所有頂點、 中的某些頂點和不在 中的頂點的極大團。在演算法的每次呼叫中， 和 是不相交的集合，它們的並集由新增到 時會形成團的那些頂點組成。換句話說， 是連線到 的每個元素的一組頂點。當 和 都為空時，沒有其他元素可以新增到 ，因此 是最大團，演算法輸出 。

在開始遞迴演算法前，將

和 設定為空集，將 設定為圖的頂點集。在每個遞迴呼叫中，演算法依次考慮 中的頂點。如果沒有這樣的頂點，分為兩種情況：如果 為空，將 報告為最大團；如果 並不為空，進行回溯。對於從 中選擇的每個頂點 ，它將進行遞迴呼叫，其中將 新增到 中，並且將 和 限制為 的鄰居集 ，這將查詢並報告 中包含 的所有團擴充套件。然後，它將 從 移到 ，以在以後的團中將其排除在外，並繼續使用 中的下一個頂點。

該演算法可以寫作以下虛擬碼形式：

R := {}
P := node set of G 
X := {}

BronKerbosch1(R, P, X):
    if P and X are both empty:
        report R as a maximal clique
    for each vertex v in P:
        BronKerbosch1(R ⋃ {v}, P ⋂ N(v), X ⋂ N(v))
        P := P  {v}
        X := X ⋃ {v}

關於演算法原理，談一些個人理解。演算法開始時，

是空集， 是頂點集；演算法結束時， 是最大團， 是空集。搜尋最大團的過程就是頂點 從集合 移動到集合 的過程。

採用回溯策略的原因是，我們並不知道某個頂點

最終是否是最大團中的成員。如果遞迴演算法選擇 作為最大團的成員時，並沒有找到最大團，那麼應該回溯，並查詢最大團中沒有 的解。

在遞迴的過程中，

最終要形成一個最大團， 的元素就是遞迴過程中當前找到的最大團的組成元素。 是最大團的候選頂點集合， 不斷地去掉遞迴完成的頂點 ，在遞迴時取只在 中的元素，因為最大團中的每個頂點之間是互相連線的，要找到的最大團的下一個頂點，一定是 的鄰接頂點。類似地， 是回溯過程中被放棄的頂點的集合，遞迴過程中每次也只需關注 的部分。

該演算法還有很多後續改進的研究，如果學習到將補充在這裡。