矩陣

Ax=y

首先 A x = y Ax=y Ax=y可以視為一個系統
輸入了 x x x得到了 y y y
A就是這個系統的響應，A描述了對x做出什麼樣的操作才可以將x變成y
而線上性代數中，x為向量，是一組確定的基( ξ \xi ξ)下的座標，而A則為另外一組基( λ \lambda λ)

引用知乎已登出大佬的圖來直觀的解釋

所以可以總結， A x = y Ax=y Ax=y的過程，實際就是用新基 λ \lambda λ將舊基 ξ \xi ξ替換掉，但是仍然使用相同的座標。比如上圖中，原本輸入x是 1 ξ 1 + 2 ξ 2 1\xi_1+2\xi_2 1ξ1​+2ξ2​，但是輸出為 1 λ 1 + 2 λ 2 1\lambda_1+2\lambda_2

但是注意的是，得到的新的向量 y y y卻仍然是用基 ξ \xi ξ來表示的。這是很神奇的一點，我們也可以這麼理解：基 ξ \xi ξ和基 λ \lambda λ各自張成了一個線性空間，而 x x x只是普通的一組數，那麼它可以是基 ξ \xi ξ上的一組向量，但是同時也可以是基 λ \lambda λ上的一組向量。但是 A x = y Ax=y Ax=y這個過程其實就是把原本在基 λ \lambda λ（新基）下表示的一個向量，對映到基 ξ \xi ξ（舊基）上，進而就得到了 y y

換個角度來看，舊基 ξ \xi ξ其實就是 I I I，就是 A I AI AI，相當於對原本的基進行了一個變換， A A A就是變換的方式。注意，在此之前， A A A都是作為一個矩陣被我們討論，但是此處 A I AI AI相當於對 I I I進行左乘了一個變換矩陣 A A A，所以這裡的 A A A可以被視為是一種變換。

矩陣是變換的數字表達，變換是矩陣的實際意義的體現。

那麼我們就可以這麼理解：

矩陣對向量的加工是通過改變基向量來實現的

在這個分析的基礎上，取 y y y為不同的數值，比如 0 0 0，那麼為齊次方程；如果為 b ( b ≠ 0 ) b(b\ne 0) b(b​=0)，那麼為非齊次的。

那麼這裡就可以聯想到方程組 A x = b Ax=b Ax=b有解的條件。

行列式

矩陣對向量進行加工，行列式能夠描述這種加工作用的強弱

如上圖，行列式可以定義為基向量張成的面的面積，如果假設原來的面的面積為1，新的面的面積為S

1. S>0，沒什麼特別的
2. S=0，這說明新的兩個向量他們疊在一起了，所以面積才為零
3. S<0，這說明新的兩個向量和舊的兩個向量之間的先後順序變了，如下圖
   上面的第二條，就可以聯想到方程組 A x = b Ax=b Ax=b有解的條件。