圖（Graph）的學習
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圖的認識
圖(Graph)是由頂點和連線頂點的邊構成的離散結構。一個圖就是一些頂點的集合，這些頂點通過一系列邊結對（連線）。頂點用圓圈表示，邊就是這些圓圈之間的連線。頂點之間通過邊連線。
圖是最靈活的資料結構之一，很多問題都可以使用圖模型進行建模求解。
樹可以說只是圖的特例，但樹比圖複雜很多
注意：頂點有時也稱為節點或者交點，邊有時也稱為連結。
圖有各種形狀和大小。邊可以有權重（weight），即每一條邊會被分配一個正數或者負數值。邊可以是有方向的。有方向的邊意味著是單方面的關係。從頂點 X 到 頂點 Y 的邊是將 X 聯向 Y，不是將 Y 聯向 X。
樹和連結串列，都可以被當成是樹，是一種更簡單的形式。他們都有頂點（節點）和邊（連線）。
圖的概念
圖是由頂點集合以及頂點間的關係集合組成的一種資料結構。
由頂點 V 集和邊 E 集構成，因此圖可以表示成 Graph = (V,E)
V是頂點的有窮非空集合；E是頂點之間關係的有窮集合，也叫邊集合。
（1）有向圖：頂點對<x,y>是有序的；無向圖：頂點對<x,y>是無序的。
（2）無向邊：若頂點Vi到Vj之間的邊沒有方向，則稱這條邊為無向邊，用無序偶對(Vi,Vj)來表示
無向圖
如果圖中任意兩個頂點時間的邊都是無向邊，則稱該圖為無向圖：
上圖是無向圖，所以連線頂點A與D的邊，可以表示為無序對(A,D)，也可以寫成(D,A)
有向圖
有向邊：若從頂點Vi到Vj的邊有方向，則稱這條邊為有向邊，也稱為弧。
用有序偶<Vi,Vj>來表示，Vi稱為弧尾，Vj稱為弧頭。
連線頂點A到D的有向邊就是弧，A是弧尾，D是弧頭，<A,D>表示弧。注意不能寫成<D,A>。
對於如上有向圖來說，G=(V,{E})其中頂點集合V={A,B,C,D};弧集合E={<A,D>,<B,A>,<C,A>,<B,C>}
（3）完全無向圖：若有n個頂點的無向圖有n(n-1)/2 條邊, 則此圖為完全無向圖。
（4）完全有向圖：有n個頂點的有向圖有n(n-1)條邊, 則此圖為完全有向圖。
（5）樹中根節點到任意節點的路徑是唯一的，但是圖中頂點與頂點之間的路徑卻不是唯一的。路徑的長度是路徑上的邊或弧的數目。
（6）如果對於圖中任意兩個頂點都是連通的，則成G是連通圖。 （7）圖按照邊或弧的多少分稀疏圖和稠密圖。
如果任意兩個頂點之間都存在邊叫完全圖，有向的叫有向圖。若無重複的邊或頂點到自身的邊則叫簡單圖。
（8）圖中頂點之間有鄰接點。無向圖頂點的邊數叫做度。有向圖頂點分為入度和出度。
（9）圖上的邊和弧上帶權則稱為網。
（10）有向的連通圖稱為強連通圖。
有向圖：具有方向性，頂點 (u,v)之間的關係和頂點 (v,u)之間的關係不同，後者或許不存在。
加權圖：與加權圖對應的就是無權圖，又叫等權圖。如果一張圖不含權重資訊，我們認為邊與邊之間沒有差別。
鄰接(adjacency)：鄰接是兩個頂點之間的一種關係。如果圖包含 (u,v)，則稱頂點v 與頂點u鄰接。在無向圖中，這也意味著頂點 u 與頂點 v 鄰接。
關聯(incidence)：關聯是邊和頂點之間的關係。在有向圖中，邊 (u,v)從頂點 u開始關聯到 v，或者相反，從v關聯到u。在有向圖中，邊不一定是對稱的，有去無回是完全有可能的。
無向圖中，頂點的度就是與頂點相關聯的邊的數目，沒有入度和出度。
路徑(path)：依次遍歷頂點序列之間的邊所形成的軌跡。
簡單路徑：沒有重複頂點的路徑稱為簡單路徑。
環：包含相同的頂點兩次或者兩次以上。上圖序列 < 1 , 2 , 4 , 3 , 1 > <1,2,4,3,1> <1,2,4,3,1>，1出現了兩次，當然還有其它的環，比如 < 1 , 4 , 3 , 1 > <1,4,3,1> <1,4,3,1>。
無環圖：沒有環的圖，其中，有向無環圖有特殊的名稱（DAG(Directed Acyline Graph)
下面這個概念很重要：
連通的：無向圖中每一對不同的頂點之間都有路徑。如果這個條件在有向圖裡也成立，那麼是強連通的。
有向圖的連通分支：將有向圖的方向忽略後，任何兩個頂點之間總是存在路徑，則該有向圖是弱連通的。有向圖的子圖是強連通的，且不包含在更大的連通子圖中，則可以稱為圖的強連通分支。
上圖， a 、e沒有到 { b , c , d } 中的頂點的路徑，所以各自是獨立的連通分支。因此，上圖有三個強連通分支，用集合寫出來就是： { { a } , { e } , { b , c , d } }
割點：如果移除某個頂點將使圖或者分支失去連通性，則稱該頂點為割點。某些特定的頂點對於保持圖或連通分支的連通性有特殊的重要意義。
雙連通圖：不含任何割點的圖。
割點的重要性不言而喻。如果你想要破壞網際網路，你就應該找到它的關節點。同樣，要防範敵人的攻擊，首要保護的也應該是關節點
橋(割邊)：和割點類似，刪除一條邊，就產生比原圖更多的連通分支的子圖，這條邊就稱為割邊或者橋。
圖的表示
鄰接列表
鄰接列表：在鄰接列表實現中，每一個頂點會儲存一個從它這裡開始的邊的列表。比如，如果頂點A 有一條邊到B、C和D，那麼A的列表中會有3條邊
鄰接列表只描述了指向外部的邊。A 有一條邊到B，但是B沒有邊到A，所以 A沒有出現在B的鄰接列表中。
鄰接矩陣
圖最常見的表示形式為鄰接連結串列和鄰接矩陣
鄰接矩陣，顧名思義，是一個矩陣，一個儲存著邊的資訊的矩陣，而頂點則用矩陣的下標表示。對於一個鄰接矩陣M，如果M(i,j)=1，則說明頂點i和頂點j之間存在一條邊，對於無向圖來說，M (j ,i) = M (i, j)，所以其鄰接矩陣是一個對稱矩陣；對於有向圖來說，則未必是一個對稱矩陣。鄰接矩陣的對角線元素都為0。下圖是一個無向圖和對應的鄰接矩陣：
需要注意的是，當邊上有權值的時候，稱之為網圖，則鄰接矩陣中的元素不再僅是0和1了，鄰接矩陣M中的元素定義為：
鄰接矩陣：在鄰接矩陣實現中，由行和列都表示頂點，由兩個頂點所決定的矩陣對應元素表示這裡兩個頂點是否相連、如果相連這個值表示的是相連邊的權重。例如，如果從頂點A到頂點B有一條權重為 5.6 的邊，那麼矩陣中第A行第B列的位置的元素值應該是5.6：
鄰接列表在表示稀疏圖時非常緊湊而成為了通常的選擇，但稀疏圖表示時使用鄰接矩陣，會浪費很多記憶體空間，遍歷的時候也會增加開銷。
如果圖是稠密圖，可以選擇更加方便的鄰接矩陣。
還有，頂點之間有多種關係的時候，也不適合使用矩陣。因為表示的時候，矩陣中的每一個元素都會被當作一個表
圖的遍歷
深度優先遍歷
深度優先遍歷（Depth_First_Search）,也稱為深度優先搜尋，簡稱DFS。
廣度優先遍歷
廣度優先遍歷（Breadth_First_Search）,又稱為廣度優先搜尋，簡稱BFS。
深度遍歷類似樹的前序遍歷，廣度優先遍歷類似於樹的層序遍歷。
