時間複雜度AND空間複雜度專項

本文參考：https://www.cnblogs.com/coder-programming/p/11093608.html

時間維度：是指執行當前演算法所消耗的時間，我們通常用「時間複雜度」來描述。
空間維度：是指執行當前演算法需要佔用多少記憶體空間，我們通常用「空間複雜度」來描述。

時間複雜度

一個演算法花費的時間與演算法中語句的執行次數成正比例，哪個演算法中語句執行次數多，它花費時間就多。 一個演算法中的語句執行次數稱為語句頻度或時間頻度。記為 T(n)。

常見的演算法時間複雜度由小到大依次為：Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n2)＜Ο(n3)＜Ο(nk)＜Ο(2n) ，隨著問題規模 n 的不斷增大，上述時間複雜度不斷增大，演算法的執行效率越低

常見的時間複雜度：

常見的時間複雜度：

常數階 O(1)

對數階 O(log2n)

線性階 O(n)

線性對數階 O(nlog2n)

平方階 O(n^2)

立方階 O(n^3)

k 次方階 O(n^k)

指數階 O(2^n)

常見階數串講

• 常數階 O（1）

  • 沒有迴圈結構，程式碼上萬行都可以，消耗並不伴隨某個的增長而增長，都是O（1）

• 對數階O（log2n）

  • 舉個例子

  int n=1000;
  
  int i=1;
  
  while(i<=n){
      i=i*2;
  }
  
  cout<<"啦啦啦啦i="<<i<<endl;
  

  看在while迴圈中執行了多少次：while終止條件是i>n的時候，即當2的x次方等於n時結束迴圈，那麼顯然x=log2n。也就是說while迴圈執行了log2n次後就結束了，那麼這個演算法的時間複雜度就是log2n。

  從這個例子可以看出，如果將迴圈改成

  i=i*3;
  

  那麼複雜度自然就變成了log3n。

• 線性階O（n）

  現在你已經基本入門啦，我們直接上例子，線性階很好理解，就是在迴圈中變數增長從倍數變成了單個增長。

  int n=1000;
  
  int i=1;
  
  while(i<=n){
      i++;
  }
  
  cout<<"啦啦啦啦i="<<i<<endl;
  

  顯然i需要增加n次才可以執行結束，故時間複雜度為O（n）

• 線性對數階O（nlogN）

  套娃！外層迴圈執行n次，內部迴圈需要執行logN次，那麼一共就是n*logN啦，故時間複雜度為O（nlogN）。

  繼續上程式碼：

  int j=0;
  
  for(int i=1;i<=n;i++){
      j=1;
      while(j<n){
          j=j*2;//時間複雜度為O(log2n)
      }
  }
  

  這個時間複雜度就是O(nlog2n)

• 平方階O(n²)

  平方階和線性對數階類似，也是套娃！

  外層n，內層n不就成n²了嗎！

  如果外層m，內層n，那麼就是O（mn）

• 立方階O(n³)、K次方階O(n^k)

  類似~

運演算法則

以上舉例都是套娃或者單個迴圈的，如果遇到多個怎麼辦？這就涉及到時間複雜度計演算法則了：

只關注迴圈執行次數最多的一段程式碼

加法法則：總複雜度等於量級最大的那段程式碼的複雜度
如果 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那麼 T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)), O(g(n))) =O(max(f(n), g(n))).

乘法法則：巢狀程式碼的複雜度等於巢狀內外程式碼複雜度的乘積
T(n) = T1(n) * T2(n) = O(n*n) = O(n2)

平均時間複雜度和最壞時間複雜度

• 平均時間複雜度：所有可能輸入例項均以等概率出現的情況下，該演算法的執行時間。
• 最壞時間複雜度：最壞情況下（即演算法執行時間最長的情況）
• 平均時間複雜度與最壞時間複雜度是否一致，與演算法有關。

空間複雜度

類似於時間複雜度，一個演算法的空間複雜度定義為該演算法所耗費的儲存空間，也是問題規模n的函式

（別問，上面一句話我沒看懂。。。）

可以理解為，空間複雜度是用來評判一個演算法的執行所需佔用的臨時儲存空間。在做演算法分析的時候，主要討論的是時間複雜度。從使用者體驗上看，更看重程式的執行速度，所以有時候為了提升演算法速度使用空間來換時間。

突然想到那種變態排序，1~2015範圍，直接開闢2016的陣列大小，有數的就標記為1其餘為0，然後遍歷輸出。。。時間複雜度：O(n)

定義

演算法的空間複雜度的計算公式記作：S(n)=O(f(n))，其中，n為問題的規模，f(n)為語句關於n所佔儲存空間的函式。

舉個例子：

void print(int n) {
  int i = 0;//常量階，不算問題規模
  int[] a = new int[n];//規模為n
  for (i; i <n; ++i) {
    a[i] = i * i;
  }

  for (i = n-1; i >= 0; --i) {
    print out a[i]
  }
}

顯然程式碼開闢了一個規模為n的陣列，故整體的空間複雜度為O(n)