通過IP地址來查詢IP歸屬地的功能，不知道你有沒有用過？沒用過也沒關係，你現在可以開啟百度，在搜尋框裡隨便輸一個IP地址，就會看到它的歸屬地。

這個功能並不複雜，它是通過維護一個很大的IP地址庫來實現的。地址庫中包括IP地址範圍和歸屬地的對應關係。

當我們想要查詢202.102.133.13這個IP地址的歸屬地時，我們就在地址庫中搜索，發現這個IP地址落在[202.102.133.0, 202.102.133.255]這個地址範圍內，那我們就可以將這個IP地址範圍對應的歸屬地“山東東營市”顯示給使用者了。

[202.102.133.0, 202.102.133.255]  山東東營市 
[202.102.135.0, 202.102.136.255]  山東煙臺 
[202.102.156.34, 202.102.157.255] 山東青島 
[202.102.48.0, 202.102.48.255] 江蘇宿遷 
[202.102.49.15, 202.102.51.251] 江蘇泰州 
[202.102.56.0, 202.102.56.255] 江蘇連雲港
 

現在我的問題是，在龐大的地址庫中逐一比對IP地址所在的區間，是非常耗時的。假設我們有12萬條這樣的IP區間與歸屬地的對應關係，如何快速定位出一個IP地址的歸屬地呢？

是不是覺得比較難？不要緊，等學完今天的內容，你就會發現這個問題其實很簡單。

上一節我講了二分查詢的原理，並且介紹了最簡單的一種二分查詢的程式碼實現。今天我們來講幾種二分查詢的變形問題。

不知道你有沒有聽過這樣一個說法：“十個二分九個錯”。二分查詢雖然原理極其簡單，但是想要寫出沒有Bug的二分查詢並不容易。

唐納德·克努特（Donald E.Knuth）在《計算機程式設計藝術》的第3卷《排序和查詢》中說到：“儘管第一個二分查詢演算法於1946年出現，然而第一個完全正確的二分查詢演算法實現直到1962年才出現。”

你可能會說，我們上一節學的二分查詢的程式碼實現並不難寫啊。那是因為上一節講的只是二分查詢中最簡單的一種情況，在不存在重複元素的有序陣列中，查詢值等於給定值的元素。最簡單的二分查詢寫起來確實不難，但是，二分查詢的變形問題就沒那麼好寫了。

二分查詢的變形問題很多，我只選擇幾個典型的來講解，其他的你可以藉助我今天講的思路自己來分析。

需要特別說明一點，為了簡化講解，今天的內容，我都以資料是從小到大排列為前提，如果你要處理的資料是從大到小排列的，解決思路也是一樣的。同時，我希望你最好先自己動手試著寫一下這4個變形問題，然後再看我的講述，這樣你就會對我說的“二分查詢比較難寫”有更加深的體會了。

變體一：查詢第一個值等於給定值的元素

上一節中的二分查詢是最簡單的一種，即有序資料集合中不存在重複的資料，我們在其中查詢值等於某個給定值的資料。如果我們將這個問題稍微修改下，有序資料集合中存在重複的資料，我們希望找到第一個值等於給定值的資料，這樣之前的二分查詢程式碼還能繼續工作嗎？

比如下面這樣一個有序陣列，其中，a[5]，a[6]，a[7]的值都等於8，是重複的資料。我們希望查詢第一個等於8的資料，也就是下標是5的元素。

如果我們用上一節課講的二分查詢的程式碼實現，首先拿8與區間的中間值a[4]比較，8比6大，於是在下標5到9之間繼續查詢。下標5和9的中間位置是下標7，a[7]正好等於8，所以程式碼就返回了。

儘管a[7]也等於8，但它並不是我們想要找的第一個等於8的元素，因為第一個值等於8的元素是陣列下標為5的元素。我們上一節講的二分查詢程式碼就無法處理這種情況了。所以，針對這個變形問題，我們可以稍微改造一下上一節的程式碼。

100個人寫二分查詢就會有100種寫法。網上有很多關於變形二分查詢的實現方法，有很多寫得非常簡潔，比如下面這個寫法。但是，儘管簡潔，理解起來卻非常燒腦，也很容易寫錯。

public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
  int low = 0;
  int high = n - 1;
  while (low <= high) {
    int mid = low + ((high - low) >> 1);
    if (a[mid] >= value) {
      high = mid - 1;
    } else {
      low = mid + 1;
    }
  }
if (low < n && a[low]==value) return low;

else return -1;

}

看完這個實現之後，你是不是覺得很不好理解？如果你只是死記硬背這個寫法，我敢保證，過不了幾天，你就會全都忘光，再讓你寫，90%的可能會寫錯。所以，我換了一種實現方法，你看看是不是更容易理解呢？

public int bsearch(int[] a, int n, int value) {

int low = 0;

int high = n - 1;

while (low <= high) {

int mid =  low + ((high - low) >> 1);

if (a[mid] > value) {

high = mid - 1;

} else if (a[mid] < value) {

low = mid + 1;

} else {

if ((mid == 0) || (a[mid - 1] != value)) return mid;

else high = mid - 1;

}

}

return -1;

}

我來稍微解釋一下這段程式碼。a[mid]跟要查詢的value的大小關係有三種情況：大於、小於、等於。對於a[mid]>value的情況，我們需要更新high= mid-1；對於a[mid]<value的情況，我們需要更新low=mid+1。這兩點都很好理解。那當a[mid]=value的時候應該如何處理呢？

如果我們查詢的是任意一個值等於給定值的元素，當a[mid]等於要查詢的值時，a[mid]就是我們要找的元素。但是，如果我們求解的是第一個值等於給定值的元素，當a[mid]等於要查詢的值時，我們就需要確認一下這個a[mid]是不是第一個值等於給定值的元素。

我們重點看第11行程式碼。如果mid等於0，那這個元素已經是陣列的第一個元素，那它肯定是我們要找的；如果mid不等於0，但a[mid]的前一個元素a[mid-1]不等於value，那也說明a[mid]就是我們要找的第一個值等於給定值的元素。

如果經過檢查之後發現a[mid]前面的一個元素a[mid-1]也等於value，那說明此時的a[mid]肯定不是我們要查詢的第一個值等於給定值的元素。那我們就更新high=mid-1，因為要找的元素肯定出現在[low, mid-1]之間。

對比上面的兩段程式碼，是不是下面那種更好理解？實際上，很多人都覺得變形的二分查詢很難寫，主要原因是太追求第一種那樣完美、簡潔的寫法。而對於我們做工程開發的人來說，程式碼易讀懂、沒Bug，其實更重要，所以我覺得第二種寫法更好。

變體二：查詢最後一個值等於給定值的元素

前面的問題是查詢第一個值等於給定值的元素，我現在把問題稍微改一下，查詢最後一個值等於給定值的元素，又該如何做呢？

如果你掌握了前面的寫法，那這個問題你應該很輕鬆就能解決。你可以先試著實現一下，然後跟我寫的對比一下。

public int bsearch(int[] a, int n, int value) {

int low = 0;

int high = n - 1;

while (low <= high) {

int mid =  low + ((high - low) >> 1);

if (a[mid] > value) {

high = mid - 1;

} else if (a[mid] < value) {

low = mid + 1;

} else {

if ((mid == n - 1) || (a[mid + 1] != value)) return mid;

else low = mid + 1;

}

}

return -1;

}

我們還是重點看第11行程式碼。如果a[mid]這個元素已經是陣列中的最後一個元素了，那它肯定是我們要找的；如果a[mid]的後一個元素a[mid+1]不等於value，那也說明a[mid]就是我們要找的最後一個值等於給定值的元素。

如果我們經過檢查之後，發現a[mid]後面的一個元素a[mid+1]也等於value，那說明當前的這個a[mid]並不是最後一個值等於給定值的元素。我們就更新low=mid+1，因為要找的元素肯定出現在[mid+1, high]之間。

變體三：查詢第一個大於等於給定值的元素

現在我們再來看另外一類變形問題。在有序陣列中，查詢第一個大於等於給定值的元素。比如，陣列中儲存的這樣一個序列：3，4，6，7，10。如果查詢第一個大於等於5的元素，那就是6。

實際上，實現的思路跟前面的那兩種變形問題的實現思路類似，程式碼寫起來甚至更簡潔。

public int bsearch(int[] a, int n, int value) {

int low = 0;

int high = n - 1;

while (low <= high) {

int mid =  low + ((high - low) >> 1);

if (a[mid] >= value) {

if ((mid == 0) || (a[mid - 1] < value)) return mid;

else high = mid - 1;

} else {

low = mid + 1;

}

}

return -1;

}

如果a[mid]小於要查詢的值value，那要查詢的值肯定在[mid+1, high]之間，所以，我們更新low=mid+1。

對於a[mid]大於等於給定值value的情況，我們要先看下這個a[mid]是不是我們要找的第一個值大於等於給定值的元素。如果a[mid]前面已經沒有元素，或者前面一個元素小於要查詢的值value，那a[mid]就是我們要找的元素。這段邏輯對應的程式碼是第7行。

如果a[mid-1]也大於等於要查詢的值value，那說明要查詢的元素在[low, mid-1]之間，所以，我們將high更新為mid-1。

變體四：查詢最後一個小於等於給定值的元素

現在，我們來看最後一種二分查詢的變形問題，查詢最後一個小於等於給定值的元素。比如，陣列中儲存了這樣一組資料：3，5，6，8，9，10。最後一個小於等於7的元素就是6。是不是有點類似上面那一種？實際上，實現思路也是一樣的。

有了前面的基礎，你完全可以自己寫出來了，所以我就不詳細分析了。我把程式碼貼出來，你可以寫完之後對比一下。

public int bsearch7(int[] a, int n, int value) {

int low = 0;

int high = n - 1;

while (low <= high) {

int mid =  low + ((high - low) >> 1);

if (a[mid] > value) {

high = mid - 1;

} else {

if ((mid == n - 1) || (a[mid + 1] > value)) return mid;

else low = mid + 1;

}

}

return -1;

}

解答開篇

好了，現在我們回頭來看開篇的問題：如何快速定位出一個IP地址的歸屬地？

現在這個問題應該很簡單了。如果IP區間與歸屬地的對應關係不經常更新，我們可以先預處理這12萬條資料，讓其按照起始IP從小到大排序。如何來排序呢？我們知道，IP地址可以轉化為32位的整型數。所以，我們可以將起始地址，按照對應的整型值的大小關係，從小到大進行排序。

然後，這個問題就可以轉化為我剛講的第四種變形問題“在有序陣列中，查詢最後一個小於等於某個給定值的元素”了。

當我們要查詢某個IP歸屬地時，我們可以先通過二分查詢，找到最後一個起始IP小於等於這個IP的IP區間，然後，檢查這個IP是否在這個IP區間內，如果在，我們就取出對應的歸屬地顯示；如果不在，就返回未查詢到。

內容小結

上一節我說過，凡是用二分查詢能解決的，絕大部分我們更傾向於用散列表或者二叉查詢樹。即便是二分查詢在記憶體使用上更節省，但是畢竟記憶體如此緊缺的情況並不多。那二分查詢真的沒什麼用處了嗎？

實際上，上一節講的求“值等於給定值”的二分查詢確實不怎麼會被用到，二分查詢更適合用在“近似”查詢問題，在這類問題上，二分查詢的優勢更加明顯。比如今天講的這幾種變體問題，用其他資料結構，比如散列表、二叉樹，就比較難實現了。

變體的二分查詢演算法寫起來非常燒腦，很容易因為細節處理不好而產生Bug，這些容易出錯的細節有：終止條件、區間上下界更新方法、返回值選擇。所以今天的內容你最好能用自己實現一遍，對鍛鍊編碼能力、邏輯思維、寫出Bug free程式碼，會很有幫助。

課後思考

我們今天講的都是非常規的二分查詢問題，今天的思考題也是一個非常規的二分查詢問題。如果有序陣列是一個迴圈有序陣列，比如4，5，6，1，2，3。針對這種情況，如何實現一個求“值等於給定值”的二分查詢演算法呢？

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